МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Арктангенс. Арккотангенс

Урок и презентация по алгебре в 10 классе на тему: "Арктангенс. Арккотангенс. Таблица арктангенса и арккотангенса"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.


Урок и презентация на тему: "Арктангенс. Арккотангенс"(PowerPoint .PPTX)

Электронные пособия по геометрии для 10 класса от 1С: Школа
"Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов"
"Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве"



Что будем изучать:
1. Что такое арктангенс?
2. Определение арктангенса.
3. Что такое арккотангенс?
4. Определение арккотангенса.
5. Таблицы значений.
6. Примеры.

Что такое арктангенс?


Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса и синуса. Теперь давайте научимся решать подобные уравнения для тангенса и котангенса. Рассмотрим уравнение tg(x)= 1. Для решения этого уравнение построим два графика: y= 1 и y= tg(x). Графики наших функций имеют бесконечное множество точек пересечения. Абсциссы этих точек имеют вид: x= x1 + πk, x1 – абсцисса точки пересечения прямой y= 1 и главной ветки функции y= tg(x), (-π/2 <x1> π/2). Для числа x1 было введено обозначение, как арктангенс. Тогда решение нашего уравнения запишется: x= arctg(1) + πk.

Функция

Определение арктангенса


arctg(a) – это такое число из отрезка [-π/2; π/2], тангенс которого равен а.


Функция y=arсtg(x)

Уравнение tg(x)= a имеет решение: x= arctg(a) + πk, где k - целое число.

Арктангенс y=arсtg(x)

Также заметим: arctg(-a)= -arctg(a).


Что такое арккотангенс?


Давайте решим уравнение сtg(x)= 1. Для этого построим два графика: y= 1 и y=сtg(x). Графики наших функций имеют бесконечное множество точек пересечения. Абсциссы этих точек имеют вид: x= x1 + πk. x1 – абсцисса точки пересечения прямой y= 1 и главной ветки функции y= сtg(x), (0 <x1> π).
Для числа x1 было введено обозначение, как арккотангенс. Тогда решение нашего уравнения запишется: x= arcсtg(1) + πk.


Функция y=arссtg(x)

Определение арккотангенса


arсctg(a) – это такое число из отрезка [0; π], котангенс которого равен а.


Функция y=arссtg(x)

Уравнение ctg(x)= a имеет решение: x= arcctg(a) + πk, где k - целое число.

Функция y=arссtg(x)

Также заметим: arcctg(-a)= π - arcctg(a).


Таблицы значений арктангенса и арккотангенса


Таблица значений тангенса и котангенса

Функция y=arсtg(x)

Таблица значений арктангенса и арккотангенса

Функция y=arсtg(x)

Примеры


1. Вычислить: arctg(-√3/3).
Решение: Пусть arctg(-√3/3)= x, тогда tg(x)= -√3/3. По определению –π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения тангенса в таблице: x= -π/6, т.к. tg(-π/6)= -√3/3 и – π/2 ≤ -π/6 ≤ π/2.
Ответ: arctg(-√3/3)= -π/6.

2. Вычислить: arctg(1).
Решение: Пусть arctg(1)= x, тогда tg(x)= 1. По определению –π/2 ≤ x ≤ π/2. Посмотрим значения тангенса в таблице: x= π/4, т.к. tg(π/4)= 1 и – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2.
Ответ: arctg(1)= π/4.

3. Вычислить: arcctg(√3/3).
Решение: Пусть arcctg(√3/3)= x, тогда ctg(x)= √3/3. По определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения котангенса в таблице: x= π/3, т.к. ctg(π/3)= √3/3 и 0 ≤ π/3 ≤ π.
Ответ: arcctg(√3/3) = π/3.

4. Вычислить: arcctg(0).
Решение: Пусть arcctg(0)= x, тогда ctg(x) = 0. По определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения котангенса в таблице: x= π/2, т.к. ctg(π/2)= 0 и 0 ≤ π/2 ≤ π.
Ответ: arcctg(0) = π/2.

5. Решить уравнение: tg(x)= -√3/3.
Решение: Воспользуемся определением и получим: x= arctg(-√3/3) + πk. Воспользуемся формулой arctg(-a)= -arctg(a): arctg(-√3/3 )= – arctg(√3/3)= – π/6; тогда x= – π/6 + πk.
Ответ: x= =– π/6 + πk.

6. Решить уравнение: tg(x)= 0.
Решение: Воспользуемся определением и получим: x= arctg(0) + πk. arctg(0)= 0, подставим в формулу решение: x= 0 + πk.
Ответ: x= πk.

7. Решить уравнение: tg(x) = 1.5.
Решение: Воспользуемся определением и получим: x= arctg(1.5) + πk. Значения арктангенса для данного значения в таблице нет, тогда оставим ответ в таком виде.
Ответ: x= arctg(1.5) + πk.

8. Решить уравнение: ctg(x)= -√3/3.
Решение: Воспользуемся формулой: ctg(x)= 1/tg(x); ctg(x)= -√3/3 =1/tg(x) => tg(x)= -√3. Воспользуемся определением и получим: x= arctg (-√3) + πk. arctg(-√3)= –arctg(√3)= –π/3, тогда x= -π/3 + πk.
Ответ: x= – π/3 + πk.

9. Решить уравнение: ctg(x)= 0.
Решение: Воспользуемся формулой: ctg(x)= cos(x)/sin(x). Тогда нам надо найти значения x, при которых cos(x)= 0, получаем, что х= π/2+ πk.
Ответ: х= π/2 + πk.

10. Решить уравнение: ctg(x)= 2.
Решение: Воспользуемся определением и получим: x= arcсtg(2) + πk. Значения арккотангенса для данного значения в таблице нет, тогда оставим ответ в таком виде. Ответ: x= arctg(2) + πk.


Задачи для самостоятельного решения


1) Вычислить: а) arctg(√3), б) arctg(-1), в) arcctg(-√3), г) arcctg(-1).
2) Решить уравнение: а) tg(x)= -√3, б) tg(x)= 1, в) tg(x)= 2.5, г) ctg(x)= √3, д) ctg(x)= 1.85.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Арктангенс arctg(a) и арккотангенс arсctg (a), графики функций, алгебра 10 класс, урок, презентация