МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Свойства корня n-ой степени

Урок и презентация по алгебре в 11 классе на тему: "Свойства корня n-ой степени. Теоремы"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Свойства корня n-степени"PPTX (Power Point)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
"Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве"
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.0"



Свойства корня n степени. Теоремы


Ребята, мы продолжаем изучать корни n-ой степени из действительного числа. Как практически все математические объекты, корни n-ой степени обладают некоторыми свойствами, сегодня мы будем их изучать.
Все свойства, которые мы рассмотрим, формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаком корня.
В случае нечетного показателя корня они выполняются и для отрицательных переменных.

Теорема 1. Корень n-ой степени из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n-ой степени этих чисел: $\sqrt[n]{a*b}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b}$.

Давайте докажем теорему.
Доказательство. Ребята, для доказательства теоремы давайте введем новые переменные, обозначим:
$\sqrt[n]{a*b}=x$.
$\sqrt[n]{a}=y$.
$\sqrt[n]{b}=z$.
Нам надо доказать, что $x=y*z$.
Заметим, что выполняются и такие тождества:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Тогда выполняется и такое тождество: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Степени двух неотрицательных чисел и их показатели равны, тогда и сами основания степеней равны. Значит $x=y*z$, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если $а≥0$, $b>0$ и n – натуральное число, которое большее 1, тогда выполняется следующее равенство: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

То есть корень n-ой степени частного равен частному корней n-ой степени.

Доказательство.
Для доказательства воспользуемся упрощенной схемой в виде таблицы: Корень n степени


Примеры вычисления корня n степени


Пример.
Вычислить: $\sqrt[4]{16*81*256}$.
Решение. Воспользуемся теоремой 1: $\sqrt[4]{16*81*256}=\sqrt[4]{16}*\sqrt[4]{81}*\sqrt[4]{256}=2*3*4=24$.


Пример.
Вычислить: $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$.
Решение. Представим подкоренное выражение в виде неправильной дроби: $7\frac{19}{32}=\frac{7*32+19}{32}=\frac{243}{32}$.
Воспользуемся теоремой 2: $\sqrt[5]{\frac{243}{32}}=\frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$.

Пример.
Вычислить:
а) $\sqrt[4]{24}*\sqrt[4]{54}$.
б) $\frac{\sqrt[6]{256}}{\sqrt[6]{4}}$.
Решение:
а) $\sqrt[4]{24}*\sqrt[4]{54}=\sqrt[4]{24*54}=\sqrt[4]{8*3*2*27}=\sqrt[4]{16*81}=\sqrt[4]{16}*\sqrt[4]{81}=2*3=6$.
б) $\frac{\sqrt[6]{256}}{\sqrt[6]{4}}=\sqrt[6]{\frac{256}{4}}=\sqrt[6]{64}=24$.


Теорема 3. Если $a≥0$, k и n – натуральные числа больше 1, то справедливо равенство: $(\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a^k}$.

Чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

Доказательство.
Давайте рассмотрим частный случай для $k=3$. Воспользуемся теоремой 1.
$(\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{a*a*a}=\sqrt[n]{a^3}$.
Так же можно доказать и для любого другого случая. Ребята, докажите сами для случая, когда $k=4$ и $k=6$.


Теорема 4. Если $a≥0$ b n,k – натуральные числа большие 1, то справедливо равенство: $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[n*k]{a}$.

Чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.

Доказательство.
Докажем опять кратко, используя таблицу. Для доказательства воспользуемся упрощенной схемой в виде таблицы: Доказательство теоремы
Пример.
$\sqrt[3]{\sqrt[5]{a}}=\sqrt[15]{a}$.
$\sqrt[4]{\sqrt{a}}=\sqrt[8]{a}$.
$\sqrt{\sqrt{a}}=\sqrt[4]{a}$.


Теорема 5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить на одно и тоже натуральное число, то значение корня не изменится: $\sqrt[np]{a^{kp}}=\sqrt[n]{a}$.

Доказательство.
Принцип доказательства нашей теоремы такой же, как и в других примерах. Введем новые переменные:
$\sqrt[n*p]{a^{k*p}}=x=>a^{k*p}=x^{n*p}$ (по определению).
$\sqrt[n]{a^k}=y=>y^n=a^k$ (по определению).
Последнее равенство возведем в степень p
$(y^n)^p=y^{n*p}=(a^k)^p=a^{k*p}$.
Получили:
$y^{n*p}=a^{k*p}=x^{n*p}=>x=y$.
То есть $\sqrt[n*p]{a^{k*p}}=\sqrt[n]{a^k}$, что и требовалось доказать.

Примеры:
$\sqrt[15]{a^5}=\sqrt[3]{a}$ (разделили показатели на 5).
$\sqrt[24]{a^{22}}=\sqrt[12]{a^{11}}$ (разделили показатели на 2).
$\sqrt[3]{a^4}=\sqrt[9]{a^{12}}$ (умножили показатели на 3).

Пример.
Выполнить действия: $\sqrt[4]{a}*\sqrt[3]{a}$.
Решение.
Показатели корней - это разные числа, поэтому мы не можем воспользоваться теоремой 1, но применив теорему 5, мы можем получить равные показатели.
$\sqrt[4]{a}=\sqrt[12]{a^3}$ (умножили показатели на 3).
$\sqrt[3]{a}=\sqrt[12]{a^4}$ (умножили показатели на 4).
$\sqrt[4]{a}*\sqrt[3]{a}=\sqrt[12]{a^3}*\sqrt[12]{a^4}=\sqrt[12]{a^3*a^4}=\sqrt[12]{a^7}$.


Задачи для самостоятельного решения


1. Вычислить: $\sqrt[4]{32*243*1024}$.
2. Вычислить: $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}$.
3. Вычислить:
а) $\sqrt[3]{81}*\sqrt[3]{72}$.
б) $\frac{\sqrt[5]{1215}}{\sqrt[5]{5}}$.
4. Упростить:
а) $\sqrt[8]{\sqrt[3]{a}}$.
б) $\sqrt[5]{\sqrt{a}}$.
в) $\sqrt{\sqrt[9]{a}}$.
5. Выполнить действия: $\sqrt[7]{a^2}*\sqrt[3]{a^4}$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Свойства корня n-ой степени, урок в 11 классе по алгебре: свойства корня n степени, примеры решения, презентация