Ребята, на данном уроке мы рассмотрим способы решений двух видов неравенств. Они могут пригодиться при подготовке к единому государственному экзамену, если вы будете решать задачи из второй части экзамена.
Рассмотрим неравенство вида: $\sqrt{f(x)}<g(x)$.
Такие неравенства называются иррациональными. В нашем выражении присутствует корень квадратный, который накладывает свои ограничения на область допустимых значений.

Первое, что мы должны иметь в виду, корень квадратный извлекается только из положительных чисел, поэтому $f(x)≥0$.
Второе, вспомните график функции корня квадратного. Значения, которые он принимает не меньше нуля. Тогда для выполнения условий неравенства, требуется условие $g(x)>0$, равенство нулю не возможно, так как наше исходное неравенство строгое и равенство значений не возможно.
Третье, обе части неравенства не отрицательные. Тогда, используя теорему 5, урока о равносильности неравенств, мы можем обе части нашего неравенства возвести квадрат, то есть получить неравенство: $f(x)<(g(x))^2$ - равносильное исходному.

Итак, при решении иррациональных неравенств можно переходить к следующей системе неравенств: $\sqrt{f(x)}<g(x)<=>\begin {cases} f(x)≥0, \\ g(x)>0, \\ f(x)<{(g(x))}^{2} \end {cases}$.

Теперь давайте рассмотрим неравенство вида: $\sqrt{f(x)}>g(x)$.

$f(x)≥0$ – это безусловное условие, которое должно накладываться, как и в предыдущем примере.
а) Заметим, если $g(x)<0$ и $f(x)≥0$, то неравенство выполняется. Поскольку, извлечение корня квадратного дает положительное число, которое всегда больше отрицательного. Если выполняется такое условие, то мы решили исходное неравенство.

б) Если $g(x)≥0$, то обе части неравенства не отрицательны. Используя теорему 5, урока о равносильности неравенств, мы можем обе части нашего неравенства возвести квадрат, то есть получить неравенство: $f(x)>(g(x))^2$ - равносильное исходному.
В этом случае мы можем опустить проверку условия $f(x)≥0$: если $g(x)≥0$, то для $f(x)≥0$ подавно выполняется неравенство (вспомните неравенства следствия.)

Итак, неравенство $\sqrt{f(x)}>g(x)$ равносильно следующей совокупности систем:
Пример.
Решить неравенства:
а) $\sqrt{x^2+x-30}<x$, б) $\sqrt{x^2+x-30}>x$.

Решение.
а) Применим знания полученные выше. $\sqrt{x^2+x-30}<x <=> \begin {cases} x^2+x-30≥0, \\ x>0, \\ x^2+x-30<x^2 \end {cases}$.

Решим систему: $\begin {cases} (x-5)(x+6)≥0, \\ x>0, \\ x<30 \end {cases}$.

Воспользуемся методом интервалов.
Решения всех трех неравенств системы пересекаются на отрезке $[5;30)$, который и есть решение исходного неравенства.
б) Нам нужно решить совокупность двух систем:
Решения каждой системы очевидны, даже не применяя метод интервалов:
Ответ: а) $хϵ[5;30)$: б) $хϵ(-∞;6]U(30;+∞)$.

Неравенства с модулями

Неравенства, которые содержат переменную под знаком модуля, могут решаться разными методами. Мы рассмотрим три способа решения. Советую применять третий способ. Он может занимать немного больше времени, но зато гораздо больше шансов на правильное решение неравенства.

Пример.
Решить неравенство: $|3x-6|>6$.

Решение.
Первый способ.
$|3(x-2)|>6$; $|(x-2)|>2$.
Как мы помним, геометрически смысл модуля есть ни что иное, как расстояние между точка х и 2. Согласно нашему неравенству оно должно превышать 2. Тогда решением будет $(-∞;0)U(4;+∞)$.
Ответ: $хϵ(-∞;0)U(4;+∞)$.

Второй способ.
Обе части нашего неравенства неотрицательны, тогда воспользовавшись теоремой 5 равносильности неравенств, мы можем возвести в квадрат обе части неравенства:
$(|3x-6|)^2>36$.
$9x^2-36x+36>36$.
$9x(x-4)>0$.

Ответ: $хϵ(-∞;0)U(4;+∞)$.
Третий способ.
В зависимости от знака выражения $3х-6$, мы можем раскрыть модуль двумя разными способами (с разными знаками). Тогда исходное неравенство сводится к совокупности двух систем неравенств:
Ответ: $хϵ(-∞;0)U(4;+∞)$.
Каждым способом мы получили одинаковый ответ, значит решение правильное. Каким способом пользоваться решать вам самим, но все-таки рекомендуется использовать - третий. Давайте рассмотрим еще один пример решения неравенств третьим способом.

Пример.
Решить неравенство: $|x^2+x-12|>-x^2-4x$.

Решение.
Модуль может раскрываться двумя способами:
1. Если $x^2+x-12≥0$, то $|x^2+x-12|=x^2+x-12$.
2. Если $x^2+x-12≤0$, то $|x^2+x-12|=-(x^2+x-12)$.

Нам осталось решить совокупность двух систем:

Для каждой системы построим интервалы решения:
$\begin {cases} (x+4)(x-3)≥0, \\ (2x-3)(x+4)>0 \end {cases}$.
$хϵ(-∞;-4)U[3;+∞)$.

И вторая система: $\begin {cases} (x+4)(x-3)≤0, \\ x>-4 \end {cases}$.

$хϵ(-4;3]$.
Осталось объединить два промежутка и записать ответ.
Ответ: $хϵ(-∞;-4)U(-4; +∞]$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить неравенства:
а) $\sqrt{x^2-3x-28}<x$;
б) $\sqrt{x^2-3x-28}>x$.
2. Решить неравенства тремя способами: $|5x+9|<24$.
3. Решить неравенство: $|x^2+3x-10|>2x-x^2$.