МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Комбинаторика и вероятность. Алгебра – 11 класс

Урок и презентация на тему: "Комбинаторика и вероятность"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Комбинаторика и вероятность"PPTX (Power Point)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.0"
Тренажёр по подготовке к ЕГЭ-2016. Математика (профильный уровень)



В теории вероятности ключевым является понятие "случайность", которое является понятием абстрактным. Казалось бы, если некоторое событие случайно, то как и что для него можно подсчитать? Но некоторые закономерности существуют, также существуют числовые характеристики для этих событий и способы их вычисления.
В рамках конкретной задачи случайное событие может быть абсолютно любым: выпадение орла или решки при подбрасывании монетки, выпадение стороны кубика, вытаскивание какой-либо карты из колоды, вызов такси и приезд какой-либо марки машины, падение метеорита на какой-либо участок территории и многое другое.
Случайное событие мы вправе выбирать сами, но строго в рамках конкретной задачи.

Давайте разберем, как формулы комбинаторики могут помочь при вычислении вероятности событий.
Отметим, что при решении вероятностных задач, первоначально следует определить, сколько всего исходов возможно в рамках данной задачи, то есть все варианты исходов данной задачи.

Пример.
Из колоды (36 карт) случайным образов вытаскивают 4 карты.
Найти вероятность того:
а) "король червей" не попался,
б) вытащили "короля червей".

Решение.
Сначала нам нужно определить, сколько всего исходов. В колоде 36 карт, из которых случайным образом выбирается 4 карты. Нам надо найти количество выборов карт из 36 по 4 штук - это количество перестановок без повторений элементов, то есть $n=C^4_{36}$.

а) "Король червей" не попался, то есть попалась любая другая карта. Благоприятных нам карт осталось 35, то есть нам надо найти количество комбинаций из 35 карт по 4 вытащенным картам, без повторений среди вытащенных карт.
Используя формулы комбинаторики: $m=C^4_{35}=\frac{35!}{4!(35-4)!)}=\frac{31!*32*33*34*35}{4!*31!}.$
Найдем вероятность, используя классическую формулу:
$P=\frac{m}{n}=\frac{C^4_{35}}{C^4_{36}}=\frac{35!}{4!31!}*\frac{4!32!}{36!}=\frac{32}{36}=\frac{8}{9}.$

б) В этом пункте нас просят найти вероятность события, обратного событию предыдущей задачи. Так как сумма вероятностей противоположных событий равна 1, тогда проще вычислить вероятность следующим образом: $P=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$.

Пример.
В урне лежат красные и синие шары. Известно, что красных шаров - 8 штук, а синих - 5 штук. Случайным образом вытаскивают 3 шара, найдите вероятность следующих случайных событий:
а) Среди вытащенных шаров оказалось два синих.
б) Среди вытащенных шаров оказался как минимум один красный.
в) Синих шаров вытащили больше красных.

Решение.
Сначала определим: сколько всего исходов возможно в рамках данной задачи. Получается, что в урне лежат 8 красных плюс 5 синих или 13 шаров. Так как вытаскивают 3 шара, то необходимо найти все возможные комбинации 3 шаров из 13 данных. При вытаскивании шары не кладутся обратно, то есть повторения не возможны. Значит надо найти количество комбинаций из 13 шаров по 3 без повторений.
Используем известную формулу: $n=C^3_{13}=\frac{13!}{3!10!}=\frac{10!*11*12*13}{6*10!}=11*2*13=286$.

Итак, всего у нас возможно 286 комбинаций. Перейдем к решению данной задачи.

а) Мы вытаскиваем 3 шара, из них два шара должны быть синими и один - красным. Количество комбинаций для синих шаров - $C_5^2$, а для красных - $C_8^1$. Используя правило умножения, можно найти количество благоприятных комбинаций m.
$m=C_5^2*C_8^1=\frac{5!}{2!3!}*\frac{8!}{7!1!}=\frac{4*5}{2*8}=80$.

Используем классическое определение вероятности: $P=\frac{m}{n}=\frac{80}{286}≈0,28$.

б) Посмотрим внимательно на условие: среди вытащенных шаров должно быть не меньше одного красного. Это значит, что возможны следующие варианты: вытащен один красный шар, вытащено два красных шара и вытащено три красных шара.
В этой задаче будет проще найти вероятность события противоположного требуемому, то есть вероятность того, что было вытащено менее одного красного шара или все вытащенные шары оказались синими. Найдем данную вероятность.
Количество комбинаций 3 синих шаров из 5: $C_5^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{4*5}{2}=10$.

Вероятность, что все вытащенные шары синие: $P=\frac{10}{286}=0,035$.

Тогда вероятность того, что среди вытащенных шаров не меньше одного красного: $P=1-0,035=0,965$.

в) Вероятность того, что синих шаров вытащили больше, чем красных означает, что было вытащено либо 2 синих шара и 1 красный - событие А, либо все 3 шара синие – событие В.
Тогда нам надо найти вероятность события С, состоящего из суммы событий А и В.
$P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)$.

Обратим внимание, что указанная выше формулы справедлива только для независимых событий А и В. Случай, когда события зависимы, мы разберем на следующем уроке.

Вероятность события А мы уже подсчитали в пункте а) данной задачи. $P(A)=0,28$.

Вероятность события B мы уже подсчитали в пункте б) данной задачи. $P(B)=0,035$.

Осталось сложить требуемые вероятности и получить ответ: $P(C)=P(A)+P(B)=0,28+0,035=0,315$.

Ответ: а) 0,28; б) 0,965; в) 0,315.

В конце урока отметим, что вероятностные задачи решать тяжелее, чем просто комбинаторные. В процессе решения нам следует выделить следующие пункты:
а) Определить все возможные исходы в рамках данной задачи.
б) Найти количество всех этих исходов или комбинации всех возможных исходов.
в) Определить благоприятные исходы для данной задачи.
г) Найти количество благоприятных исходов или их комбинаций.
д) Найти вероятность требуемого события.

Получается, что решение задачи состоит из 5 пунктов. Ребята, не забывайте эти пункты, тогда решение окажется не таким уж сложным.

Задачи для самостоятельного решения


1. Из колоды (36 карт) случайным образов вытаскивают 6 карты. Найти вероятность того, что:
а) "шестерка пик" не попалась,
б) попалась любая шестерка.

2. В урне лежат красные и синие шары. Известно, что красных шаров - 10 штук, а синих - 7 штук. Случайным образом вытаскивают 5 шаров, найдите вероятность следующих случайных событий:
а) Среди вытащенных шаров окажется 3 синих.
б) Среди вытащенных шаров окажется не больше 3 красных.
в) Красных шаров вытащили больше синих или равное количество.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Комбинаторика и вероятность, элементы, теория, статистика, презентация для 11 класса