МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Схема Бернулли

Урок и презентация по алгебре в 11 классе на тему: "Схема Бернулли, теорема"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Схема Бернулли"  PPTX (Power Point)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
"Интерактивные задания на построение в пространстве для 10 и 11 классов"
Тренажёр по подготовке к ЕГЭ-2016. Математика (профильный уровень)



Ребята, мы продолжаем изучать элементы теории вероятности. На прошлом уроке для самостоятельного решения была предложена задача про стрелков и попадание в цель. Давайте разберем случай, когда у нас есть только один стрелок, и он производит несколько выстрелов.

Пример.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет 0,7. Стрелок производит последовательно три выстрела.
Найти вероятность того, что:
а) все три выстрела будут точными;
б) все три выстрела будут не точными;
в) будет хотя бы одно попадание;
г) будет ровно одно попадание.

Решение.
Как и при решении любой задачи давайте зададим событие А – попадание в цель при первом выстреле. Вероятность события А равна 0,7; и вероятность обратного события, т.е. промаха равна 0,3. События Б и С - попадание в цель при втором и третьем выстреле соответственно. Все эти события между собой независимы.

а) Все три выстрела будут точными. Значит стрелок попал и при первом выстреле, и при втором, и при третьем выстреле. На прошлом уроке мы заметили, что логическое "и" соответствует умножению:
$P(ABC)=P(A)*P(B)*P(C)=0,7^3=0,343$.

б) По аналогии с предыдущим пунктом нам надо найти вероятность того, что будут промахи при каждом выстреле:
$P(\overline{ABC})=P(\overline{A})*P(\overline{B})*P(\overline{C})=0,3^3=0,027$.

в) Будет хотя бы одно попадание. Этот случай довольно запутанный – благоприятные нам возможные исходы испытаний:
  • попадание ровно один раз – 3 случая,
  • попадание два раза (первый попал, второй попал, третий промахнулся и т.д.) - 3 случая,
  • попадание все 3 раза – один случай.
Вычислять вероятность для каждого случая и их складывать довольно долго. Давайте найдем обратную вероятность для данного пункта. Обратная нам задача – все три промаха. Соответствующую вероятность мы нашли в предыдущем пункте, тогда: $P=1-P(\overline{ABC})=1-0,027=0,973$.

г) Будет ровно одно попадание.
Тут возможно три варианта благоприятных событий:
  • первый попал, а двое других промахнулись (1),
  • первый и третий промахнулись, второй попал (2),
  • первый и второй промахнулись, третий попал (3).
Может произойти или (1), или (2), или (3) – вероятность суммы данных событий. Помним про несовместность всех наших событий.
$P(A*\overline{B}*\overline{C}+\overline{A}*B*\overline{C}+\overline{A}*\overline{B}*C)=$ $=P(A*\overline{B}*\overline{C})+P(\overline{A}*B*\overline{C})+P(\overline{A}*\overline{B}*C)=$
$=0,7*0,3*0,3+0,3*0,7*0,3+0,3*0,3*0,7=3*0,7*0,3^2=0,189$.

В общем случае наша задача представляет собой модель следующего события: одно и то же испытание (эксперимент) проводится несколько раз, причем возможно всего два исхода испытания (попадание или не попадание). Такая модель называется "схемой Бернулли". Якоб Бернулли – швейцарский математик, который первым предложим способ вычисления вероятности модели, описанной выше. Рассмотрим схему более подробно.
Пару слов о великом математики из Википедии:
Я́коб Берну́лли (нем. Jakob Bernoulli, 27 декабря 1654, Базель, — 16 августа 1705, там же) — швейцарский математик. Один из основателей теории вероятностей и математического анализа. Старший брат Иоганн Бернулли, совместно с ним положил начало вариационному исчислению. Доказал частный случай закона больших чисел — теорему Бернулли. Профессор математики Базельского университета (с 1687 года). Иностранный член Парижской академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1701).

Дано некоторое случайное событие А, совершенно любое, тогда вероятность этого события обозначим Р(А). В нашей модели или схеме будем считать, что возможны всего два исхода: событие А произошло или событие А не произошло - $\overline{A}$.
Для краткости и удобства: "успех" - событие А, обозначим вероятность $P(A)=p$; "неудача" - событие $\overline{A}$. Вероятность неудачи обозначим q и тогда: $q=1-P(A)=1-p$.

Теорема (схема испытаний Бернулли). Пусть $P_n(k)$ – вероятность наступления ровно k "успехов" в серии из n независимых повторений одного и того же события. Тогда: $P_n(k)=C_n^{k}*p^{k}*q^{n-k}$, где p – вероятность "успеха", $q=1-p$ – вероятность "неудачи".

Доказательство теоремы довольно таки громоздкое. Но данная схема оказала огромное влияние на развитие теории вероятности и оказалась применима во многих практических задачах.
Пример.
Для каждой задачи найти: n – количество всех испытаний, к – количество успехов, p - вероятность успеха, q - вероятность неудачи и требуемую вероятность в постановки задачи.

а) Какова вероятность того, что если 10 раз подбрасывать монеты, орел выпадет ровно 9 раз?
б) 20 человек просят выбрать наугад любой месяц года. Успешным выбором будем считать все месяцы лета и ноябрь с декабрем. Остальные месяцы будем считать не удачными. Какова вероятность того, что удачные месяцы выберут ровно 8 человек?
в) Игральный кубик бросают 30 раз. Удачным считается выпадение единицы или шестерки. Какова вероятность, что удачно выпадет кубик ровно 10 раз?

Решение.
а) Всего испытаний 10, значит $n=10$. Успешных испытаний должно быть 9, значит $k=9$. Вероятность выпадения орла или решки одинаковая и равна 0,5, то есть $p=q=0,5$. Воспользуемся схемой Бернулли:
$P_{10}(9)=C^9_{10}*p^9*q^{10-9}=\frac{10!}{9!1!}*(0,5)^9*0,5=10*(0,5)^{10}$.

б) Всего у нас 20 человек, $n=20$. Удачные месяцы должны выбрать 8 человек, $k=8$. Найдем вероятность успеха. Всего у нас 12 месяцев в году, благоприятных нам: 3 месяца лета + ноябрь и декабрь. Тогда по классической формуле вероятности: $p=\frac{5}{12}$ и $q=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$.

Воспользуемся схемой Бернулли:
$P_{20}(8)=C^8_{20}*p^8*q^{20-8}=\frac{20!}{12!8!}*(\frac{5}{12})^8*(\frac{7}{12})^{12}$.

в) Очевидно, что $n=30$, $k=10$, $p=\frac{2}{6}$, $q=\frac{4}{6}$.
$P_{30}(10)=C^{10}_{30}*p^{10}*q^{20}=\frac{30!}{10!20!}*(\frac{1}{3})^{10}*(\frac{2}{3})^{20}$.

Теорема Бернулли оказала существенное влияние на развитие теории вероятности и математической статистики. Фактически она показала связь между классическим определением вероятности и статистическим определением вероятности. В теории вероятности есть теорема "Закон больших чисел". Давайте попробуем кратко объяснить ее смысл.
Предположим, мы проводим некоторое испытание, например, подбрасываем монетку. Монетку мы подбрасываем ровно n раз. Выпадение "орла" - k раз, а выпадение "решки" - $(n-k)$ раз. Статистически вероятность выпадения "орла" - $\frac{k}{n}$, а выпадения "решки" - $(\frac{(n-k)}{n})$. Согласно классическому определению вероятности выпадения "орла" и "решки" будут равны 0,5. При большом количестве проведенных испытаний, то есть чем больше n, тем больше статистическая вероятность будет стремиться к классической вероятности. Давайте сформулируем закон больших чисел.

Теорема. При большом числе независимых повторений одного и того же испытания частота появления случайного события А со все большей точностью приближенно равна вероятности события А: $\frac{k}{n}≈P(A)$.

Методы математической статистики позволяют вычислять достоверность и устойчивость полученных результатов.
Например, если $n≥2000$, то достоверность полученных результатов получена с точностью до 0,03. Если опросили 2000 человек, и из них 520 дали требуемый ответ, то статистическая вероятность дачи требуемого ответа: $\frac{520}{2000}=0,26$. Можно утверждать, что если будет опрошено много больше, чем 2000 человек, то вероятность будет отличаться от исходной не больше чем на 0,03. То есть получится число из промежутка $[0,23;0,29]$. Такое явление называется статистической устойчивостью.

Схема Бернулли позволяет находить приближенное значение вероятности события, для тех случаев когда ее невозможно подсчитать напрямую.

Задачи для самостоятельного решения


Для каждой задачи найти: n – количество всех испытаний, к – количество успехов, p - вероятность успеха, q - вероятность неудачи и требуемую вероятность в постановки задачи.

а) Монету подбрасывают 30 раз. Какова вероятность того, что "орел" выпадет ровно 15 раз?
б) 30 человек просят выбрать наугад время года. Успешным выбором считается лето, остальные времена будем считать не удачными. Какова вероятность того, что удачно выберут ровно 12 человек?
в) Игральный кубик бросают 50 раз. Удачным считается выпадение единицы, двойки, четверки или шестерки. Какова вероятность, что удачно выпадет кубик ровно 25 раз?



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Схема Бернулли, предельные теоремы примеры, 11 класс