Темой сегодняшнего занятия будут системы уравнений. В курсе алгебры мы с вами научились решать многие системы уравнений с двумя переменными.

Мы знаем несколько методов решений систем уравнений:

• метод подстановки,
• метод сложения,
• метод введения новых переменных,
• графический метод.

Нам осталось ввести некоторые обобщения и уточнения.

Определение. Если поставлена задача: найти такую пару чисел $(х;y)$, причем эти числа удовлетворяют каждому уравнению $p(x;y)=0$ и $u(x;y)=0$, то эти уравнения образуют систему уравнений: $\begin {cases} p(x;y)=0, \\ u(x;y)=0. \end {cases}$.

Пара чисел $(x; y)$, удовлетворяющая каждому уравнению системы, называется решением системы уравнений. Решить систему уравнений – найти все пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие данной системе.
При решении систем уравнений мы руководствуемся теми же принципами, что и при решении обычных уравнений. Постепенно переходим к более простым уравнениям, выполняя равносильные преобразования. К уравнениям следствиям мы также можем переходить, но не стоит забывать, что в этом случае мы должны проверить все полученные корни.

Определение. Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или если решений нет у каждой из систем.

Равносильными являются методы:
1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.
3. Метод введения новой переменой.
Используя эти методы, мы заменяем исходную систему уравнений равносильной системой, как правило, получившуюся систему решить гораздо проще.

Методы, приводящие к уравнениям следствиям:
1. Возведение в квадрат обеих частей уравнения.
2. Умножение уравнений системы.
3. Преобразования, расширяющие область допустимых значений каждого уравнения.

При использовании данных методов проверку корней следует проводить всегда!

Система уравнений может состоять и из трех уравнений, и вообще, любого количества уравнений. В этом случае нужно найти такие числа, которые удовлетворяют каждому уравнению системы. Обычно количество уравнений совпадает с количеством переменных в системе.

Пример.
Решить систему уравнений: $\begin {cases} xy-8=\frac{x^3}{y}, \\ xy+6=\frac{y^3}{x} \end {cases}$.

Решение.
Для начала, перемножим уравнения системы:
$(xy-8)(xy+6)=x^2 y^2$.
Мы можем заметить, что удобно ввести новую переменную $u=xy$, получили следующее уравнение: $(u-8)(u+6)=u^2$.
Решаем его и находим $u=-24$ или $ху=-24$.
Получив более простую зависимость, перейдем к более простой системе: $\begin {cases} xy-8=\frac{x^3}{y}, \\ xy=-24 \end {cases}$.
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим y через x:
$\begin {cases} xy-8=\frac{x^3}{y}, \\ y=-\frac{24}{x} \end {cases}$.

$\begin {cases} -\frac{24}{x}*x-8=\frac{x^3}{-\frac{24}{x}}, \\ x=-\frac{24}{y} \end {cases}$.

$\begin {cases} -32=-\frac{x^4}{24}, \\ y=-\frac{24}{x} \end {cases}$.

$\begin {cases} x^4=768, \\ y=-\frac{24}{x} \end {cases}$.

$\begin {cases} x=±4\sqrt[4]{3}, \\ y=∓\frac{6}{\sqrt[4]{3}} \end {cases}$.

Получили две пары чисел: ($4\sqrt[4]{3}$; $-\frac{6}{\sqrt[4]{3}}$) и (-$4\sqrt[4]{3}$; $\frac{6}{\sqrt[4]{3}}$).
Мы использовали метод умножения, поэтому нам придется проверить полученные корни.
$\begin {cases} ±4\sqrt[4]{3}*(∓\frac{6}{\sqrt[4]{3}})-8=\frac{(±4\sqrt[4]{3})^3}{∓\frac{6}{\sqrt[4]{3}}}, \\ ±4\sqrt[4]{3}*(∓\frac{6}{\sqrt[4]{3}})+6=\frac{(∓\frac{6}{\sqrt[4]{3}})^3}{±4\sqrt[4]{3}}\end {cases}$<=>$\begin {cases} -32=-32, \\ -18=-18 \end {cases}$.

Обе пары чисел удовлетворяют системе.

Пример.
Решить систему уравнений.
$\begin {cases} x^2+4x-y^2-3y=0, \\ \sqrt{\frac{x+y}{x-y}}+3\sqrt{\frac{x-y}{x+y}}=4 \end {cases}$.

Решение.
Рассмотрим второе уравнение системы и введем новую переменную: $t=\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}$, тогда наше уравнение примет вид: $t+\frac{3}{t}=4$.
Решив это уравнение, находим $t=3$ и $t=1$. Введя обратную замену, исходную систему можно свести к совокупности двух систем:

Решим каждую систему отдельно.
$\begin {cases} x^2+4x-y^2-3y=0, \\ \sqrt{\frac{x+y}{x-y}}=3. \end {cases}$.
Возведем второе уравнение в квадрат: $\begin {cases} x^2+4x-y^2-3y=0, \\ \frac{x+y}{x-y}=9 \end {cases}$.
Так же из второго уравнения выразим х через у: $\begin {cases} x^2+4x-y^2-3y=0, \\ x=\frac{5}{4}y \end {cases}$.
Воспользуемся методом подстановки: $\begin {cases} (\frac{5}{4}y)^2+5y-y^2-3y=0, \\ x=\frac{5}{4}y \end {cases}$.
Решаем квадратное уравнение и находим корни: $\begin {cases} y=0; y=-\frac{32}{9}, \\ x=0; x=-\frac{40}{9} \end {cases}$.
Со второй системой, проведя те же самые действия, получим следующие корни: $\begin {cases} y=0; y=0, \\ x=0;x=-4 \end {cases}$.

Нам осталось провести проверку решений. Поскольку, мы возводили в квадрат обе части, а это не самое надежное действие. Пара решений $(-4;0)$ и $(-\frac{40}{9}; -\frac{32}{9})$ подходят. В этом, ребята, может убедиться сами, проведя проверку.
А вот решение (0;0) не подходит, подставляя эти значения во второе уравнение системы, получаем деление на ноль, что недопустимо. Значит решение (0;0) является лишним.
Ответ: $(-4;0)$ и $(-\frac{40}{9}; -\frac{32}{9})$.

Пример.
Составить уравнение параболы $y=ax^2+bx+c$, проходящей через точки: $А(1;-2)$; $B(-1;8)$; $C(2;-1)$.

Решение.
Мы знаем координаты х и у для трех точек, через которые проходит парабола, но мы не знаем коэффициенты a, b, c. С другой стороны, у нас есть три точки, а значит мы можем составить три уравнения с тремя неизвестными, то есть систему из трех уравнений: $\begin {cases} -2=a+b+c, \\ 8=a-b+c, \\ -1=4a+2b+c)\end {cases}$.
Выразим из первого уравнения с: $c=-2-a-b$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $a-b-2-a-b=8$.
Отсюда легко найти значение $b=-5$.
Фактически, выполнив равносильные преобразования, мы получили простую систему: $\begin {cases} c=-2-a-b, \\ b=-5, \\ -1=4a+2b+c \end {cases}$.

$\begin {cases} c=3-a, \\ b=-5, \\ -1=4a-10+3-a \end {cases}$.

$\begin {cases} c=1, \\ b=-5, \\ a=2 \end {cases}$.
Итак, уравнение параболы, проходящей через заданные точки, выглядит следующим образом: $y=2x^2-5x+1$.

Пример.
Сумма цифр задуманного трехзначного числа равна 9, а сумма квадратов его цифр равна 29. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число.

Решение.
Составление математической модели.
Пусть х – цифра стоящая на первом месте в заданном числе, y – вторая цифра, z – третья цифра в требуемом числе.
Тогда, $x+y+z=9$ и $x^2+y^2+z^2=29$.
Нам задано трехзначное число, тогда 100x – число сотен, 10y – число десятков, z- число единиц.
$100х+10у+z$ – как раз и получится наше число. $100z+10y+x$ – число записанное наоборот. Учитывая условия задачи, составим систему уравнений: $\begin {cases} x+y+z=9, \\ x^2+y^2+z^2=29, \\ 100x+10y+z+198=100z+10y+x \end {cases}$.

Работа с составленной моделью.
Внимательно посмотрим на третье уравнение нашей системы:
$100x+10y+z+198=100z+10y+x$. Это уравнение легко преобразуется к виду: $99x-99z=-198$ или $x-z=-2$.
$\begin {cases} z-2+y+z=9, \\ x^2+y^2+z^2=29, \\ x=z-2 \end {cases}$.

$\begin {cases} y=11-2z, \\ (z-2)^2+(11-2z)^2+z^2=29, \\ x=z-2\end {cases}$.

$\begin {cases} y=11-2z, \\ (z-2)^2+(11-2z)^2+z^2=29, \\ x=z-2\end {cases}$.

$\begin {cases} y=11-2z, \\ 6z^2-48z+96=0, \\ x=z-2 \end {cases}$.

$\begin {cases} y=11-2z, \\ z^2-8z+16=0, \\ x=z-2 \end {cases}$.

$\begin {cases} y=11-2z, \\ (z-4)^2=0, \\x=z-2 \end {cases}$.

$\begin {cases} y=3, \\ z=4, \\ x=2 \end {cases}$.
Ответ на вопрос, поставленный в задаче. Нам требуется найти заданное число, где х - первая цифра числа, y – вторая цифра числа, z – третья. Тогда наше число - 234.

Ответ: 234.

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить систему уравнений: $\begin {cases} xy-4=\frac{x^3}{y}, \\ xy+2=\frac{y^3}{x} \end {cases}$.

2. Решить систему уравнений: $\begin {cases} xy+4y+2x-13=0, \\ \sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}-3\sqrt{\frac{y+5}{x+3y}}=-2 \end {cases}$.
3. Составить уравнение параболы $y=ax^2+bx+c$, проходящей через точки: $А(-1;6)$; $B(2;9)$; $C(1;2)$.
4. Сумма цифр задуманного трехзначного числа равна 10, а сумма квадратов его цифр равна 38. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число.