МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Сочетания и размещения

Урок и презентация на тему: "Сочетания и размещения, примеры"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Сочетания и размещения"PPTX (Power Point)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Тренажёр по подготовке к ЕГЭ-2016. Математика (профильный уровень)
Тренажёр по подготовке к ЕГЭ-2016. Математика (базовый уровень)



При подсчете вероятности события, иногда бывает довольно сложно подсчитать общее количество исходов. На данном уроке мы займемся способами подсчета количества исходов.
На прошлом уроке мы повторили правило умножения. В курсе алгебры 9 класса мы изучали некоторые понятия, давайте повторим некоторые из них.

Определение. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! (n факториал) $n!=1*2*...*(n-1)*n$.
n факториал – состоящий из n множителей.

Заметим важное свойство факториала: $n!= (n-1)!*n$.
Сочетания и размещения
Количество перестановок из n элементов можно вычислять, используя следующую теорему:
Теорема. N отличных друг от друга предметов можно расставить по одному на N разных мест ровно N! способами. $P_{N}=N!$.
Где P – количество перестановок из N элементов, без повторений.


Пример.
К Иван Васильевичу пришли гости: Александр, Алексей, Петр и Николай. За столом 5 стульев.
а) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом?
б) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если место Ивана Васильевича известно?
в) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если Петр и Николай всегда сидят рядом?
г) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если Алексей и Александр не могут сидеть рядом?

Решение.
а) Способы которыми можно рассадить гостей и хозяина - это не что иное, как количество перестановок наших гостей возле разных стульев. Воспользуемся теоремой: всего гостей - 5 человек, тогда имеем 5! способов расстановки.
Ответ: 120 способов.
б) Место Иван Васильевича уже известно, тогда гости могут выбрать 4 оставшихся стула, а это 4!=24 способа выбора.
Ответ: 24.
в) Петр и Николай сидят рядом, тогда первый из них может выбрать себе место пятью способами, а вот второму останется выбор только из двух мест - рядом с первым. Остается 3 места для 3 человек: 3!=6 способов. Тогда всего способов: 5*2*6=60.
Ответ: 60.
г) Алексей может выбрать место пятью способами, но вот Александру остается для выбора всего два места, так как рядом с Алексеем он сидеть не может. Тогда способов: 5*2*3!=60.
Ответ: 60.

Пример.
В чемпионате по хоккею участвовало 8 команд, каждая команда сыграла с другой по одной игре. Сколько всего сыграно игр?

Решение.
Данную задачу можно решать различными способами. Начнем с самого очевидного, но не всегда самого простого. Составим таблицу сыгранных игр и непосредственно подсчитаем количество игр. Сочетания и размещения
Команда сама с собой играть не может (закрашенные клетки), тогда у нас остается $64-8=56$ клеток. Игр у нас произошло ровно в два раза меньше, так внизу таблицы могут быть записаны те же результаты, только в обратном порядке в зависимости от победы или поражения. Всего сыграно 28 игр.

Второй способ: Пронумеруем команды. Зная номера команд, можно подсчитать, что первая команда сыграет 7 игр, второй команде уже останется сыграть 6 игр, поскольку она уже сыграла игру с первой командой и так далее, получим: $7+6+5+4+3+2+1=28$.

Внимательно проанализируем нашу задачу: у нас есть 8 команд, в каждой игре участвуют 2 команды. Нам надо найти количество сочетаний или количество игр 8 команд, в каждой игре участвуют 2 команды. Порядок выбора команд совершенно не важен.

Количество сочетаний из n элементов по 2 легко вычисляется по формуле:
Теорема. Для множества, состоящего из n элементов, любые два элемента этого множества (без повторения) могут быть выбраны $\frac{n(n-1)}{2}$ способами.
Иначе говоря, число сочетаний двух объектов (без учета порядка) множества, состоящего из n элементов вычисляется: $C_{n}^2=\frac{n(n-1)}{2}$.

Пример.
Ребята 11 А и 11 Б решили поиграть в шахматы. В 11 А учатся 10 человек, а в 11 Б - 8 человек. Сколькими способами:
а) могут сыграть ребята 11 А между собой?
б) могут сыграть ребята 11 Б между собой?
в) Сколько игр возможно между ребятами 11 А и 11 Б?
г) Сколько всего игр возможно?

Решение.
а) В 11 А учатся 10 человек, в шахматы играют 2 человека. Нам надо найти количество сочетаний из 10 человек по 2, порядок нам в данной задаче не важен. Воспользуемся теоремой: $C_{10}^2=\frac{10*9}{2}=45$.

б) По аналогии с предыдущим примером: $C_{8}^2=\frac{8*7}{2}=28$.

в) Когда играют друг против друга ребята из разных классов, то тут следует считать по правилу умножения. Выбор ученика одного из классов не зависит от выбора ученика другого класса, тогда у нас для 11 А – 10 способов выбора, а для 11 Б – 8 способов. Тогда количество возможных игр: $10*8=80$.

г) Здесь нам не важен ни порядок, ни кто с кем играем, тогда это количество сочетаний из учеников обоих классов по 2: $C_{18}^2=\frac{18*17}{2}=153$.

Часто встречаются задачи, в которых порядок размещения элементов важен, тогда нам следует воспользоваться следующей теоремой.
Теорема. Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента с учетом их порядка, то такой выбор можно провести $n(n-1)$ способами.

Определение. Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n данных называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначается $А_{n}^2$.

Пример.
В классе учится 20 учеников. К доске нужно вызвать двух человек, сколькими способами можно это сделать если:
а) cначала первый ученик должен решить пример на квадратные уравнения, а потом другой ученик - пример на неравенство.
б) ученики могут выйти к доске одновременно.

Решение.
а) В этой задаче порядок важен, тогда $А_{20}^2=20*19=380$.
б) Нам порядок не важен, тогда используем формулу числа сочетаний: $C_{20}^2=\frac{20*19}{2}=190$.

Мы рассмотрели варианты, когда в выборе участвовало 2 элемента, а как быть в случае, когда их гораздо больше, ведь такие задачи встречаются чаще. Давайте запишем формулы для общего случая:
Число сочетаний из n элементов по k элементам (без учета порядка) вычисляется по формуле: $C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число размещений из n элементов по k элементам (с учетом порядка) вычисляется по формуле: $A_{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n*(n-1)*(n-2)*…*(n-k+1)$.
Заметим, что: $C_{n}^k=\frac{A_{n}^k}{k!}$.

Пример.
В классе учится 25 учеников, нужно выбрать 4 ученика таким образом:
а) один ученик должен подготовить доклад, второй - решить геометрическую задачу, третий - подготовить презентацию, четвертый - выучить стих.
б) 4 ученика должны подготовить выступление на школьном празднике.

Решение.
а) Здесь нам порядок важен, тогда $A_{25}^4=\frac{25!}{4!}=25*24*23*22=303600$.
б) Здесь нам порядок не важен, тогда $C_{n}^k=\frac{25!}{4!*21!}=\frac{25*24*23*22}{2*3*4}=12650$.

В конце урока запишем ряд важных свойств:
1) $0!=1$.
2) $C_{n}^n=\frac{n!}{n!(n-n)!}=\frac{1}{0!}=1$.
3) $C_{n}^0=\frac{n!}{0!(n-0)!}=1$.
4) $C_{n}^k=C_{n}^{n-k}$.

Давайте проверим 4 свойство: $C_{n}^{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!(n-n+k)!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=C_{n}^k$.


Задачи для самостоятельного решения


1) К Мише пришли гости: Саша, Леша, Петя, Коля, Аркаша. Торт разрезали на 6 кусков.
а) Сколькими способами каждый ребенок может выбрать кусок торта?
б) Сколькими способами каждый ребенок может выбрать кусок торта, если Миша уже выбрал себе кусочек?
в) Сколькими способами каждый ребенок может выбрать кусок торта, если Аркаша всегда выбирает соседний от куска Саши?

2) Ребята 11 А и 11 Б решили поиграть в шахматы. В 11 А учится 13 человек, а в 11 Б - 9 человек.
Сколькими способами:
а) могут сыграть ребята 11 А между собой?
б) могут сыграть ребята 11 Б между собой?
в) Сколько игр возможно между ребятами 11 А и 11 Б?
г) Сколько всего игр возможно?

3) Из 16 дежурных надо выбрать трех для столовой. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

4) Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали олимпийских игр по теннису, если в этих играх участвовало 15 стран?



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Сочетания и размещения, элементы комбинаторики в 11 классе, урок