МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Уравнения и неравенства с параметрами

Урок и презентация по алгебре в 11 классе на тему: "Уравнения и неравенства с параметрами. Примеры решения



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Уравнения и неравенства с параметрами"
PPTX (Power Point)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
"Интерактивные задания на построение для 7-10 классов"
"Интерактивные задания на построение в пространстве для 10 и 11 классов"



Под уравнением с параметром обычно принято понимать уравнение вида $f(x;a)=0$, где х – переменная, относительно которой надо решить уравнение, а – произвольное действительное число, параметр.

Трудностей при решении уравнений с параметрами довольно много, так как в зависимости от параметра уравнение может принимать совершенно разный вид. При одном значении параметра уравнение может не иметь решений, при другом - бесконечно много решений, при третьем значении - решаться одним способом, при четвертом - совершенно другим. Мы постараемся разобрать основные принципы, которыми следует руководствоваться при решении таких уравнений.

Пример.
Решить относительно х:
а) $3а(а-3)х = а-3$,
б) $3а(а-3)х > а-3$.

Решение.
а) Дано обычное линейное уравнение, которое решается довольно просто. Число в правой части уравнения делим на коэффициент при х в левой части уравнения.
В правой части уравнения число равняется $а-3$.
В левой части уравнения коэффициент при х равен $3а(а-3)$.
Тогда решение в общем виде будет: $x=\frac{a-3}{3a(a-3)}=\frac{1}{3a}$.
Параметр а может принимать любые значения. Мы знаем, что на ноль делить нельзя. Тогда $3а≠0$, что означает $а≠0$.
То есть мы получили, при $а=0$ – решений нет, так как на ноль делить нельзя. При всех остальных значениях параметра а, $x=\frac{a-3}{3a(a-3)}=\frac{1}{3a}$.

б) Нам также дано обычное линейное неравенство. В этом случае стоит учесть еще одно условие. В зависимости от знака коэффициента при х мы меняем либо не меняем знак неравенства при делении на этот коэффициент.

Рассмотрим случаи:
1. $a=0$;
2. $a=3$;
3. $а<0$;
4. $0<a<3$;
5. $a>3$.
1. $a=0$. В этом случае неравенство принимает вид $0*х>-3$, которое выполняется при любых х.
2. $a=3$. В этом случае неравенство принимает вид $0*х>0$, которое не имеет решений.
3. $а<0$. Коэффициент $3а(а-3)$ положителен. Значит, при делении на этот коэффициент знак неравенства остается прежним, тогда решением в этом случае будет $x>\frac{1}{3a}$.
4. $0<a<3$. В этом случае коэффициент отрицателен, тогда следует знак неравенства сменить на противоположный. $x<\frac{1}{3a}$.
5. $a>3$. Коэффициент $3а(а-3)$ положителен. Значит, при делении на этот коэффициент знак неравенства остается прежним, тогда решением будет: $x>\frac{1}{3a}$. Пункты 3 и 5 можно объединить в один при записи в ответ.

Ответ: а) Уравнение не имеет решений при $а=0$ и $а=3$. При всех других а решением уравнения будет $x=\frac{1}{3a}$.

б) При $а=0$, неравенство выполняется при любых х.
Если $а=3$, то решений нет.
Если $а<0$ и $a>3$, то $x>\frac{1}{3a}$.
Если $0<a<3$, то $x<\frac{1}{3a}$.

Пример.
Решить уравнение: $2(a-2)x^2+4(a+1)x+(2a+2)=0$.

Решение.
При решении квадратных уравнений с параметром, как правило, следует рассматривать два случая:
1. коэффициент при старшей степени равен нулю.
2. коэффициент при старшей степени не равен нулю.

Рассмотрим первый случай.
При $а=2$, наше уравнение принимает вид обычного линейного уравнения: $0*x^2+12x+6=0$, т.е. $х=-\frac{1}{2}$.
Перейдем ко второму случаю, найдем дискриминант нашего уравнения:
$D=(4(a+1))^2-4*2*(a-2)(2a+2)=16(a^2+2a+1)-8(2a^2+2a-4a-4)=$ $=16a^2+32a+16-16a^2+16a+32=48a+48=48(a+1)$.

Дальше следует рассуждать о знаке дискриминанта.
а) При $D<0$, корней уравнения нет. В нашем случае, при $а<-1$ – решений нет.
б) При $D=0$, один корень. В нашем случае, при $а=-1$ – одно решение.
Найдем это решение: $x=\frac{-4(a+1)}{4(a-2)}=\frac{-4*0}{4*(-3)}=0$.
в) При $D>0$, два корня уравнения. В нашем случае, при $а>-1$ – два решения.
$x_{1,2}=\frac{-4(a+1)±\sqrt{48(a+1)}}{4(a-2)}=\frac{-4(a+1)±4\sqrt{3(a+1)}}{4(a-2)}=\frac{-(a+1)±\sqrt{3(a+1)}}{(a-2)}$.

Ответ: При $а=2$ – $х=-0,5$. При $a<-1$ – решений нет.
При $а=-1$ – $х=0$. При $а>-1$ – $x_{1,2}=\frac{-(a+1)±\sqrt{3(a+1)}}{a-2}$.

Пример.
Решить уравнение: $\sqrt{x+a}=(a-2x)$.

Решение.
Начнем с обычного действия, возведем обе части уравнения в квадрат.
$(\sqrt{x+a})^2=(a-2x)^2$.
$x+a=a^2-4ax+4x^2$.
$4x^2-(4a+1)x+(a^2-a)=0$.

Найдем дискриминант данного уравнения.
$D=(4a+1)^2-4*4*(a^2-a)=16a^2+8a+1-16a^2+16a=24a+1$.

Перейдем к рассмотрению трех возможных случаев:
1. $D<0$, при $a<-\frac{1}{24}$, решений нет.

2. $D=0$, при $a=-\frac{1}{24}$. Решив уравнение, получим $x=\frac{5}{48}$.
Проверим выполняется ли равенство $\sqrt{\frac{5}{48}-\frac{1}{24}}≠-\frac{1}{24}-\frac{10}{48}$. Значит уравнение не имеет корней в данном случае.

3. $D>0$, при $a>-\frac{1}{24}$, два корня уравнения: $x_{1,2}=\frac{4a+1±\sqrt{24a+1}}{8}$.
Осталось выполнить проверку полученных корней. Проверка таких корней представляет собой довольно сложную операцию. Давайте построим графики функций $y=\sqrt{x+a}$ и $y=a-2x$, а затем найдем точки их пересечений.
Рассмотрим три случая для значений параметра а:
а) $а=0$.
б) $a<0$.
в) $a>0$.
Рассмотрим случай а). При $а=0$ графики выглядят следующим образом: Уравнения и неравенства с параметрами
Графики пересекаются в одной точке А(0;0), значит уравнение имеет одно решение $х=0$.

Рассмотрим случай б). При $a<0$, график корня квадратного сместится вправо на а единиц, а график линейной функции сместится на а единиц вниз. Как видно из схематичного рисунка, наши графики не могут пересечься, значит, корней нет. Уравнения и неравенства с параметрами
Рассмотрим случай в). При $a>0$, графики функций пересекаются в одной точке. Выше мы получили два возможных корня уравнения, нам нужно выбрать один из этих корней удовлетворяющий графику ниже.
Уравнения и неравенства с параметрами
Мы можем заметить, что абсцисса точки пересечения больше нуля, но меньше чем $\frac{а}{2}$.
Проверим наши корни.

$\frac{4a+1+\sqrt{24a+1}}{8}<\frac{a}{2}$.

$4a+1+\sqrt{24a+1}<4a$.

$\sqrt{24a+1}<-1$ - не возможно, значит $аϵ∅$ для этого корня.

Для уверенности в правильности решения проверим второй корень.

$\frac{4a+1-\sqrt{24a+1}}{8}<\frac{a}{2}$.

$4a+1-\sqrt{24a+1}<4a$.

$-\sqrt{24a+1}<-1$.

$\sqrt{24a+1}>1$.

$a>0$, получили верное неравенство.

Ответ: При $а=0$, $х=0$. При $а<0$, решений нет. При $a>0$, $x=\frac{4a+1-\sqrt{24a+1}}{8}$.

Задачи для самостоятельного решения


1. Решить относительно х:
а) $5а(а-4)х = а-4$,
б) $5а(а-4)х < а-4$.
2. Решить уравнение: $4(a-1)x^2+4(a+3)x+(a+1)=0$.
3. Решить уравнение: $\sqrt{-x+a}=(a+2x)$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Уравнения и неравенства с параметрами