Что такое натуральный логарифм

Ребята, на прошлом уроке мы с вами узнали новое, особенное число – е. Сегодня мы продолжим работать с этим числом.
Мы с вами изучили логарифмы и знаем, что в основании логарифма может стоять множество чисел, которые больше 0. Сегодня мы также рассмотрим логарифм, в основании которого стоит число е. Такой логарифм принято называть натуральным логарифмом. У него есть собственная запись: $\ln{n}$ - натуральный логарифм. Такая запись эквивалентна записи: $\log_e{n}=\ln{n}$.
Показательные и логарифмические функции являются обратными, тогда натуральный логарифм, является обратной для функции: $y=e^x$.
Обратные функции являются симметричными относительно прямой $y=x$.
Давайте построим график натурального логарифма, отразив экспоненциальную функцию относительно прямой $y=x$.

Стоит заметить угол наклона касательной к графику функции $y=e^x$ в точке (0;1) равен 45°. Тогда угол наклона касательной к графику натурального логарифма в точке (1;0) также будет равен 45°. Обе эти касательные будут параллельны прямой $y=x$. Давайте схематично изобразим касательные:

Свойства функции $y=\ln{x}$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на всей области определения.
4. Не ограничена сверху, не ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Выпукла вверх.
9. Дифференцируема всюду.

В курсе высшей математики доказано, что производная обратной функции есть величина, обратная производной данной функции.
Углубляться в доказательство не имеет большого смысла, давайте просто запишем формулу: $y'=(\ln{x})'=\frac{1}{x}$.

Пример.
Вычислить значение производной функции: $y=\ln(2x-7)$ в точке $х=4$.
Решение.
В общем виде наша функция представляют функцию $y=f(kx+m)$, производные таких функций мы умеем вычислять.
$y'=(\ln{(2x-7)})'=\frac{2}{(2x-7)}$.
Вычислим значение производной в требуемой точке: $y'(4)=\frac{2}{(2*4-7)}=2$.
Ответ: 2.

Пример.
Провести касательную к графику функции $y=ln{x}$ в точке $х=е$.
Решение.
Уравнение касательной к графику функции, в точке $х=а$, мы хорошо помним.
$y=f(a)+f'(a)(x-a)$.
Последовательно вычислим требуемые значения.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln{e}=1$.
$f'(a)=\frac{1}{a}=\frac{1}{e}$.
$y=1+\frac{1}{e}(x-e)=1+\frac{x}{e}-\frac{e}{e}=\frac{x}{e}$.
Уравнение касательной в точке $х=е$ представляет собой функцию $y=\frac{x}{e}$.
Давайте построим график натурального логарифма и касательной.
Пример.
Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: $y=x^6-6*ln{x}$.
Решение.
Область определения функции $D(y)=(0;+∞)$.
Найдем производную заданной функции:
$y'=6*x^5-\frac{6}{x}$.
Производная существует при всех х из области определения, тогда критических точек нет. Найдем стационарные точки:
$6*x^5-\frac{6}{x}=0$.
$\frac{6*x^6-6}{x}=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Точка $х=-1$ не принадлежит области определения. Тогда имеем одну стационарную точку $х=1$. Найдем промежутки возрастания и убывания:

Точка $х=1$ – точка минимума, тогда $y_min=1-6*\ln{1}=1$.
Ответ: Функция убывает на отрезке (0;1], функция возрастает на луче $[1;+∞)$. $y_min=1$.


Ребята, мы умеем вычислять производные натурального логарифма и экспоненциальной функции. Но мы пока не знаем, как вычислять производную любого другого логарифма и любой показательной функции.
Рассмотрим показательную функцию $y=a^x$.
Вспомним свойство: $c^{\log_c{b}}=b$.
Тогда: $a=e^{\ln{a}}$.
$a^x={(e^{\ln{a}})}^x=e^{x*\ln{a}}$.
Найдем производную: $(a^x)'=(e^{x*ln{a}})'=\ln{a}*e^{x*\ln{a}}=\ln{a}*a^x$.
Производная показательной функции равна: $(a^x)'=\ln{a}*a^x$.

Например: $(3^x)'=\ln{3}*3^x$; $(7^x)'=\ln{7}*7^x$.

Перейдем к логарифмам, воспользуемся формулой перехода к новому основанию:
$\log_a{x}=\frac{\ln{x}}{\ln{a}}$.
Найдем производную: $(\log_a{x})'=(\frac{\ln{x}}{\ln{a}})'=\frac{1}{\ln{a}}*(\ln{x})'=\frac{1}{\ln{a}}*\frac{1}{x}=\frac{1}{x*\ln{a}}$.
Производная логарифма по основанию а числа х равна:
$(\log_a{x})'=\frac{1}{x*\ln{a}}$.

Например.
$(\log_3{x})'=\frac{1}{x*\ln{3}}$.
$(\log_8{x})'=\frac{1}{x*\ln{8}}$.

Задачи на натуральный логарифм для самостоятельного решения

1. Вычислить значение производной функции $y=\ln{(3x-5)}$ в точке $х=3$.
2. Вычислить значение производной функции $y=\log_4{(x+8)}$ в точке $х=-2$.
3. Найти уравнение касательной к графику функции $y=\ln{x}$ в точке $х=2е$. Схематично изобразить график.
4. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы: $y=x^8-4*\ln{x^2}$.