МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Число e. Функция. График. Свойства

Урок и презентация по алгебре в 11 классе на тему: "Число e. Функция. График. Свойства"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Число e. Функция. График. Свойства"PPTX ( Power Point)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
"Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве" "Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение"



Ребята, сегодня мы будем изучать особенное число. Оно занимает отдельное место во "взрослой" математике и имеет много замечательных свойств, некоторые из которых мы и рассмотрим.

Вернемся к показательным функциям $y=a^x$, где $а>1$. Мы можем построить множество различных графиков функций для различных оснований.
Но следует заметить, что:
  • все функции проходят через точку (0;1),
  • при $х→-∞$ график имеет горизонтальную асимптоту $у=0$,
  • все функции возрастают и выпуклы вниз,
  • а также непрерывны, что в свою очередь означает, что они дифференцируемы.
Если функции всюду дифференцируемы, тогда к ним можно построить касательные в каждой точке. Если все функции проходят через точку (0;1), то она представляет особый интерес. Давайте последовательно построим несколько касательных.

Рассмотрим функцию $y=2^x$ и построим к ней касательную. Число e, функция, график
Аккуратно построив наши графики, можно заметить, что угол наклона касательной равен 35°.
Теперь давайте построим график функции $y=3^x$ и также построим касательную: Число e, функция, график
В этот раз угол наклона касательной приблизительно равен 48°. Вообще, стоит заметить: чем больше основание показательной функции, тем больше угол наклона.
Особый интерес представляет касательная с углом наклона равным 45°. К графику какой показательной функции можно провести такую касательную в точке (0;1)?
Основание показательной функции должно быть больше 2, но меньше 3, так как требуемый угол касательной достигается где-то между функциями $y=2^x$ и $y=3^x$. Такое число было найдено и оно оказалось довольно уникальным.

Показательную функцию, у которой касательная, проходящая через точку (0;1) имеет угол наклона равный 45°, принято обозначать: $y=e^x$.
Основание нашей функции является иррациональным числом. Математиками было выведено приблизительное значение этого числа $e=2.7182818284590…$.
В курсе школьной математике принято округлять до десятых, то есть $e=2.7$.
Давайте построим график функции $y=e^x$ и касательную к этому графику. Число e, функция, график
Нашу функцию принято называть экспоненциальной.
Свойства функции $y=e^x$.
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на всей области определения.
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Выпукла вниз.
В высшей математике доказано, что экспоненциальная функция всюду дифференцируема, и ее производная равна самой функции: $(e^x)'=e^x$.
Наша функция находит большое применение в многих разделах математики (в математическом анализе, в теории вероятности, в программировании), и многие реальные объекты связаны с этим числом.

Пример.
Найти касательную к графику функции $y=e^x$ в точке $х=2$.
Решение.
Уравнение касательной описывается формулой: $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.
Последовательно найдем требуемые значения:
1. $f(a)=f(2)=e^2$.
2. $f'(a)=e^a$.
3. $f'(2)=e^2$.
4. $y=f(a)+f'(a)(x-a)=e^2+e^2(x-2)=e^2*x-e^2$.
Ответ: $y=e^2*x-e^2$

Пример.
Найти значение производной функции $y=e^{3x-15}$ в точке $х=5$.
Решение.
Давайте вспомним правило дифференцирования функции вида $y=f(kx+m)$.
$y'=k*f'(kx+m)$.
В нашем случае $f(kx+m)=e^{3x-15}$.
Найдем производную:
$y'=(e^{3x-15})'=3*e^{3x-15}$.
$y'(5)=3*e^{15-15}=3*e^0=3$.
Ответ: 3.

Пример.
Исследовать на экстремумы функцию $y=x^3*e^x$.
Решение.
Найдем производную нашей функции $y'=(x^3*e^x )'=(x^3)'*e^x+x^3(e^x)'=3x^2*e^x+x^3*e^x=x^2*e^x(x+3)$.
Критических точек у функции нет, так как производная существует при любом х.
Приравняв производную к 0, получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=-3$.
Отметим наши точки на числовой прямой: Число e, функция, график

Задачи для самостоятельного решения


1. Найти касательную к графику функции $y=e^{2x}$ в точке $х=2$.
2. Найти значение производной функции $y=e^{4x-36}$ в точке $х=9$.
3. Исследовать на экстремумы функцию $y=x^4*e^{2x}$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Число e, значение числа е, производная числа е, функция. Урок по алгебре 11 класс