МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Выражения с радикалом

Урок и презентация по алгебре в 11 классе на тему:
"Преобразование выражений, содержащих радикал"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Преобразование выражений, содержащих радикал"
PDF (Acrobat Reader 8.0 и выше)    PPTX (Microsoft Power Point)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Тренажёр по подготовке к ЕГЭ-2016. Математика (профильный уровень)
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.0"



Ребята, на прошлом уроке мы изучили свойства корня n-ой степени. Сегодня мы посмотрим, как их применять при решении различных задач которые могут встретиться на практике.

Давайте сделаем небольшую памятку из свойств наших корней:
1. ${(\sqrt[n]{a})}^n=a$; $\sqrt[n]{a^n}=a$.
2. $\sqrt[n]{a*b}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b}$.
3. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, $b≠0$.
4. ${(\sqrt[n]{a})}^k=\sqrt[n]{a^k}$.
5. $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[n*k]{a}$.
6. $\sqrt[n*p]{a^{k*p}}=\sqrt[n]{a^{k}}$.

Используя наши формулы, мы можем преобразовывать выражения содержащие радикалы (операция извлечения корня), такие выражения называются иррациональными.

Пример.
Упростить выражение:
а) $\sqrt[4]{48a^7}$.
б) ${(\sqrt[5]{a^3})}^2$.
Решение.
а) Подкоренное выражение приведем к виду: $16*a^4*3a^3$.
Тогда, используя формулу 2 из нашей памятки, исходное выражение примет вид:
$\sqrt[4]{48a^7}=\sqrt[4]{16*a^4*3a^3}=\sqrt[4]{16}*\sqrt[4]{a^4}*\sqrt[4]{3a^3}=2a*\sqrt[4]{3a^3}$.
Полученное нами выражение считается более простым, так как под знаком корня более простое выражение.
Преобразование такого вида называется – вынесением множителя за знак радикала.

б) Воспользуемся формулой 4: ${(\sqrt[5]{a^3})}^2=\sqrt[5]{{(a^3)}^2}=\sqrt[5]{a^6}$.
Преобразуем полученное выражение тем же методом, что и в первом примере. $\sqrt[5]{a^6}=\sqrt[5]{a^5*a}=\sqrt[5]{a^5}*\sqrt[5]{a}=a*\sqrt[5]{a}$.
При вынесении множителя за знак радикала следует обратить особое внимание на знак выносимого множителя. В случае четных степеней он может быть как положительным, так и отрицательным.

Давайте рассмотрим пример: $\sqrt[6]{x^6*y}$.
О знаке числа х мы ничего не знаем, преобразовав наше выражение получим: $x*\sqrt[6]{y}$.
На самом деле эта запись неверная. Повторимся: о знаке числа х мы ничего не знаем. Как быть в этом случае?
Для того чтобы быть уверенным, что ответ правильный, лучше представить его виде: $|x|*\sqrt[6]{y}$.
Обобщенная формула для корней с четным показателем будет выглядеть так: $\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|$.

Ребята, мы рассмотрели операцию вынесение множителя за знак радикала. Существует и обратная операция – внесение множителя под знак радикала.

Пример.
Сравнить числа $4\sqrt[3]{2}$ и $2\sqrt[3]{4}$.
Решение.
Мы знаем: $4=\sqrt[3]{64}$ и $2=\sqrt[3]{8}$.
Преобразуем исходное выражение:
$4\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{64}*\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{128}$.
$2\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}*\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{32}$.
Показатели корней обоих выражений одинаковые. Больше то число, у которого больше подкоренное выражение. В нашем случае: $\sqrt[3]{128}>\sqrt[3]{32}$.

Пример.
Упростить выражение: $\sqrt[5]{x^3*\sqrt[4]{x}}$.
Решение.
Внесем выражение, содержащее третью степень, под знак корня:
$x^3*\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]x^{12}*\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{x^{13}}$.
Воспользуемся формулой 5. Исходное выражение можно представить в виде: $\sqrt[5]{\sqrt[4]{x^{13}}}=\sqrt[20]{x^{13}}$.

Пример.
Выполнить действия:
а) $(\sqrt[8]{a}-\sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a}+\sqrt[8]{b})$.
б) $(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})$.
Решение:
а) Воспользуемся формулой разности квадратов:
$(\sqrt[8]{a}-\sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a}+\sqrt[8]{b})=(\sqrt[8]{a^2}+\sqrt[8]{b^2})$.
Теперь давайте упростим полученное нами выражение, воспользуемся формулой 6 нашей памятки:
$(\sqrt[8]{a^2}-\sqrt[8]{b^2})=(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})$ (показатель корня и степень подкоренного выражения разделили на 2.
Ответ: $(\sqrt[8]{a^2}-\sqrt[8]{b^2})(\sqrt[8]{a^2}+\sqrt[8]{b^2})=(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})$.

б) Давайте внимательно посмотрим на наше выражение. Оно похоже на формулу разности кубов, давайте ее и применим:
$(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})={(\sqrt[3]{a})}^3-{(\sqrt[3]{b})}^3=a-b$.

Пример.
Выполнить действия:
а) $\sqrt[6]{a^5}*\sqrt[4]{a^3}$.
б) $\sqrt{3-\sqrt{3}}*\sqrt[4]{12+6\sqrt{3}}$.
Решение.
Перемножать можно только корни одной и той же степени. Давайте приведем наши выражения к одинаковому показателю корня.
$\sqrt[6]{a^5}=\sqrt[12]{a^{10}}$ (домножили на 2).
$\sqrt[4]{a^3}=\sqrt[12]{a^{9}}$ (домножили на 3).
$\sqrt[6]{a^5}*\sqrt[4]{a^3}=\sqrt[12]{a^{10}}*\sqrt[12]{a^9}=\sqrt[12]{a^{19}}$.
Упростим получившиеся выражение:
$\sqrt[12]{a^{19}}=\sqrt[12]{a^{12}*a^7}=|a|*\sqrt[12]{a^7}$.
Обратим внимание на то, что показатель корня наших выражений – четный. Это значит, что подкоренное выражение содержит только положительные числа, то есть $a≥0$, но тогда $|a|=a$.
Ответ: $\sqrt[6]{a^5}*\sqrt[4]{a^3}=a*\sqrt[12]{a^7}$.

б)Этот пример можно решить двумя способами. Давайте рассмотрим каждый из способов:
1 способ. Приведем первый множитель к 4-ой степени:
$\sqrt{3-\sqrt{3}}=\sqrt[4]{{(3-\sqrt{3})}^2}=\sqrt[4]{9-6\sqrt{3}+3}=\sqrt[4]{12-6\sqrt{3}}$.
Перемножим радикалы:
$\sqrt[4]{12-6\sqrt{3}}*\sqrt[4]{12+6\sqrt{3}}=\sqrt[4]{{(12-6\sqrt{3})}*(12+6\sqrt{3})}=\sqrt[4]{144-36*3}=\sqrt[4]{144-108}=\sqrt[4]{36}=\sqrt[4]{6^2}=\sqrt{6}$.

2 способ. Посмотрим на подкоренное выражение во втором множителе:
$12+6\sqrt{3}=9+6\sqrt{3}+3=3^2+2*3*\sqrt{3}+{(\sqrt{3})}^2={(3+\sqrt{3})}^2$.
Мы можем преобразовать множитель в целом:
$\sqrt[4]{12+6\sqrt{3}}=\sqrt[4]{{(3+\sqrt3)}^2}=\sqrt{3+\sqrt{3}}$ (разделили на 2 показатели степеней).
Преобразуем всё выражение:
$\sqrt{3-\sqrt{3}}*\sqrt[4]{12+\sqrt[6]{3}}=\sqrt{3-\sqrt{3}}*\sqrt{3+\sqrt{3}}=\sqrt{(3-\sqrt{3})*(3+\sqrt{3})}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$.

Пример.
Разложить на множители выражение: $\sqrt[3]{x^8}-2\sqrt[3]{x^4y^2}+\sqrt[3]{y^4}$.
Решение.
Перепишем исходное выражение в виде:
$\sqrt[3]{x^8}-2\sqrt[3]{x^4y^2}+\sqrt[3]{y^4}={(\sqrt[3]{x^4})}^2-2*\sqrt[3]{x^4}*\sqrt[3]{y^2}+{(\sqrt[3]{y^2})}^2$ - это так называемый "квадрат разности".
$\sqrt[3]{x^8}-2\sqrt[3]{x^4y^2}+\sqrt[3]{y^4}={(\sqrt[3]{x^4}-\sqrt[3]{y^2})}^2={(x\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y^2})}^2$.

Пример.
Сократить дробь: $\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{xy}+\sqrt[3]{y}}$.
Решение.
1 способ.
Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно:
$\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=\sqrt[6]{x^2}-\sqrt[6]{y^2}=(\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y})(\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y})$.
$\sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{xy}+\sqrt[3]{y}=\sqrt[6]{x^2}-2\sqrt[6]{xy}+\sqrt[6]{y^2}={(\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y})}^2$.
Сократим получившиеся выражение:
$\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{xy}+\sqrt[3]{y}}$=$\frac{(\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y})(\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y})}{({\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y})}^2}$=$\frac{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}{\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y}}$.

2 способ.
Введем замену переменных.
Пусть $a=\sqrt[6]{x}$, $b=\sqrt[6]{y}$. Тогда $\sqrt[3]{x}=a^2$ и $\sqrt[3]{y}=b^2$.
$\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{xy}+\sqrt[3]{y}}=\frac{a^2-b^2}{{a^2-2ab+b}^2}=\frac{(a-b)(a+b)}{{(a-b)^2}}=\frac{(a+b)}{(a-b)}=\frac{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}{\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y}}$.
Замена переменных часто упрощает ход решения. Работать с рациональными выражениями гораздо проще и привычней, чем с иррациональными.


Задачи для самостоятельного решения


1. Упростить выражение:
а) $\sqrt[4]{162a^5}$.
б) ${(\sqrt[4]{a^5})}^3$.
2. Сравнить числа: $3\sqrt[3]{4}$ и $2\sqrt[3]{5}$.
3. Упростить выражение: $\sqrt[6]{{x^2}*\sqrt[3]{x^2}}$.
4. Выполнить действия:
а) $\sqrt[3]{a^7}*\sqrt[5]{a^4}$.
б) $\sqrt{4-\sqrt{3}}*\sqrt[4]{19+8\sqrt{3}}$.
5. Разложить на множители выражение: $\sqrt[4]{x^6}-6\sqrt[4]{x^3y^5}+9\sqrt[4]{y^{10}}$.
6. Сократить дробь: $\frac{\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y}}{\sqrt[6]{x}+2\sqrt[12]{xy}+\sqrt[6]{y}}$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Преобразование выражение, содержащих радикал, урок по алгебре в 11 классе