МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Свойства логарифмов

Урок и презентация по алгебре для 11 класса на тему: "Логарифм и его свойства. Таблица логарифмов."



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Логарифм и его свойства"PPTX (Power Point)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивные задания по геометрии на построение в пространстве для 10 и 11 классов
Тренажёр по подготовке к ЕГЭ-2016. Математика (базовый уровень)




Основные свойства логарифмов


Ребята, мы продолжаем изучать логарифмы, и все что с ними связано. Сегодня на занятии мы рассмотрим тему: "Какими свойствами обладают операции над логарифмами?". Если кто-то подзабыл некоторые основные понятия и определения логарифма, повторите в предыдущем уроке.
Давайте договоримся, что любое свойство рассматривается только для положительного числа, стоящего под знаком Мы уже знаем два свойства логарифма, исходя из его определения, давайте их повторим:

  • $\log_a{a^r}=r$,
  • $a^{\log_a{b}}=b.$

Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: $\log_a{(b*c)}=\log_a{b}+\log_a{c}.$

Доказательство:
Пусть $x=\log_a{(b*c)}; \ y=\log_a{b}; \ z=\log_a{c}.$
То есть нам надо доказать: $х=y+z$
$x=\log_a{(b*c)}=>a^x=b*c, \\ y=\log_a{b}=>a^y=b, \\ z=\log_a{c}=>a^z=c, \\ a^x=b*c=a^y*a^z=a^{y+z}, \\ a^x=a^{y+z}=>x=y+z$.
Что и требовалось доказать.

Примеры:

$\log_6{24}=\log_6{6}+\log_6{4}=1+\log_6{4}$

$\log_7{10}=\log_7{5}+\log_7{2}$

$\lg25+\lg4=\lg100=2$

Теорема работает и в случае, если число под знаком логарифма можно представить в виде произведения более двух чисел.
$\log_3{5}+\log_3{2}+\log_3{4}=\log_3{(5*2*4)}=\log_3{40}$

Теорема 2. Пусть a,b,c – положительные числа и а≠1, тогда справедлива следующая формула: $\log_a{\frac{b}{c}}=\log_a{b}-\log_a{c}$

Докажем теорему кратко, с помощью таблицы.
Свойства логарифма
Теорема 3. Пусть a и b положительные числа (а≠1), то для любого числа r справедливо равенство: $\log_a{b^r}=r*\log_a{b}$.

Логарифм степени равен произведению показателя степени и логарифма основания степени.
Докажем кратко:
Свойства логарифма

Примеры решения логарифмов


Примеры:

$\log_7{81}=\log_7{9^2}=2*\log_7{9} \\ \log_3{\frac{1}{6}}=\log_3{6^{(-1)}}=-\log_3{6} \\ 2\log_5{10}=\log_5{10}^2=\log_5{100}$

Пример. Положительные числа x, y, z, t – связаны соотношением: $x=\frac{y^2*\sqrt{z}}{t}$.
Выразить $\log_a{x}$ через логарифм по основанию а чисел y, z, t.
Решение. Последовательно используя теоремы выше, найдем решение:

$\log_a{x}=\log_a{\frac{y^2*\sqrt{z}}{t}}=\log_a{(y^2*\sqrt{z})}-\log_a{t}=\log_a{y^2}+\log_a{\sqrt{z}}-\log_a{t}=$
$=2\log_a{y}+\frac{1}{2}\log_a{z}-\log_a{t}$.

Ответ: $\log_a{x}=2\log_a{y}+\frac{1}{2}\log_a{z}-\log_a{t}$.

Зачастую о знаке числа стоящего под логарифмом ничего неизвестно, но мы с вами договорились рассматривать только положительные числа, как быть в этом случае: $\log_a{x^4}=4\log_a{x}$. Верна ли эта запись?

Очевидно, если $x≤0$, то нет. Для того, чтобы быть уверенным в правильности ответа необходимо использовать модуль, тогда верное выражение примет такой вид: $\log_a{x^4}=4\log_a{|x|}$

В общем случае формула будет выглядеть так: $\log_a{x^{2n}}=2n*\log_a{|x|}$, n - целое число.

В указанных выше теоремах, произведение и частное чисел b и c может быть больше нуля, но произведение и частное двух отрицательных чисел равно положительному число. Если о знаке чисел b и c мы ничего не знаем, то также следует писать модуль.

$\log_a{(b*c)}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|}$,

$\log_a{\frac{b}{c}}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}$.

Теорема 4. Равенство $\log_a{b}=\log_a{c}$, $a>0, \ a≠1, \ b>0, \ c>0$ выполняется тогда и только тогда, когда $b=c$.

В справедливости теоремы легко убедиться по графику логарифма и его монотонности.

Пример.
Известно: $\lg{x}=3\lg{y}-0.25\lg{z}+\lg{t}$.

Выразить x через y, t, z.
Решение.
Рассмотрим правую часть: $3\lg{y}=\lg{y^3}$.
$0,25\lg{z}=\lg{z^{\frac{1}{4}}}$
$3\lg{y}-0,25\lg{z}+\lg{t}=\lg{y^3}-\lg{z^{\frac{1}{4}}}+\lg{t}=\lg{x}=\lg{\frac{y^3*t}{z^{\frac{1}{4}}}}$.
Исходное равенство тогда выглядит: $\lg{x}=\lg{\frac{y^3*t}{z^{\frac{1}{4}}}}$.
$х=\frac{y^3*t}{z^{\frac{1}{4}}}$

Пример.
Известно, что $\log_6{5}=a$. Вычислить: $\log_6{7,2}$.
Решение:
Нам надо выразить число 7,2 через числа 6 (основание логарифма) и 5 (дано в условии).
$7,2=7\frac{1}{5}=\frac{36}{5}=\frac{6^2}{5}$.
$\log_6{7,2}=log_6{\frac{6^2}{5}}=\log_6{6^2}-\log_6{5}=2-a$.
Ответ: $\log_6{7,2}=2-a$.

Пример.
Вычислите: $25^{1-0,5\log_5{11}}$.
Решение. Посмотрим внимательно на выражение в степени:
$1-0,5\log_5{11}=\log_5{5}-\log_5{11^{0,5}}=\log_5{\frac{5}{\sqrt{11}}}$.
Вернемся к исходному выражению:
$25^{1-0,5\log_5{11}}=25^{\log_5{\frac{5}{\sqrt{11}}}}=5^{2*\log_5{\frac{5}{\sqrt{11}}}}$.
Применим свойство: $a^{\log_a{b}}=b$.
$5^{2*\log_5{\frac{5}{\sqrt{11}}}}=5^{log_5{(\frac{5}{\sqrt{11}})^2}}=(\frac{5}{\sqrt{11}})^2=\frac{25}{11}=2\frac{3}{11}$.
Ответ: $25^{1-0,5\log_5{11}}=2\frac{3}{11}$.


Десятичные логарифмы


Рассмотрим подробнее десятичные логарифмы.
Любое положительное число а может быть записано в виде: $a=a_0*10^n$; $1≤a_0<10$ и n - целое число.
Давайте найдем десятичный логарифм числа а.
$\lg{a}=\lg{(a_0*10^n)}=\lg{a_0}+\lg{10^n}=lg{a_0+n}$.
Десятичный логарифм - это возрастающая функция, тогда: $\lg{1}≤\lg{a_0}<\lg{10}$.
$0≤\lg{a_0}<1$.
Тогда любой десятичный логарифм мы можем представить в виде суммы целого числа n и числа $\lg{a_0}$ которое, больше либо равно 0, но меньше 1.
Число n – называется характеристикой десятичного логарифма. Это наибольшее целое число не превосходящее $\lg{a}$.
Число $\lg{a_0}$ называется мантиссой десятичного логарифма.
Свойство, которое мы получили выше, хорошо помогает при вычислении десятичных логарифмов. Достаточно знать значения десятичных логарифмов от первых девяти цифр от 1 до 9 и с их помощью вычислять все остальные логарифмы.


Примеры:
Известно, что $\lg{8 }≈0,903$.
Найдем: $\lg{(80)}$; $\lg{(800)}$; $\lg{(800000)}$; $\lg{(0,8)}$.

$\lg{(80)}=\lg{8*10}=\lg{8}+\lg{10}=0,903+1=1,903$.
$\lg{(800)}=\lg{8*100}=\lg{8}+\lg{10^2}=0,903+2=2,903$.
$\lg{(800000)}=\lg{8*100000}=\lg{8}+\lg{10^5}=0,903+5=5,903$.
$\lg{(0,8)}=\lg{(8*\frac{1}{100})}=\lg{8}+\lg{10}^{-2}=0,903-2=-1,097$.


Задачи на свойства логарифмов для самостоятельного решения


1.Положительные числа x, y, z, t связаны соотношением: $x=\frac{y^3*\sqrt[5]{z^2}}{t^3}$.
Выразить $\log_a{x}$ через логарифм по основанию а чисел y, z, t.

2. Известно: $\lg{x}=-2\lg{y}-0,125\lg{z}+5\lg{t}$.
Выразить x через y, t, z.

3. Известно, что $\log_4{5}=a$. Вычислить $\log_4{6,25}=a$.

4. Вычислите: $36^{2-0,25log_6{12}}$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Свойства логарифмов, формулы, таблицы. Урок и презентация по алгебре за 11 класс