МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Понятие интеграла

Урок и презентация по алгебре в 11 классе на тему: "Задачи, подводящие к понятию интеграл"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Задачи, подводящие к понятию интеграл"
PDF (Acrobat Reader 8.0 и выше)    PPTX (Microsoft Power Point)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.0"
Тренажёр по подготовке к ЕГЭ-2016. Математика (профильный уровень)



Введение в интеграл


Ребята, на прошлом уроке мы изучили первообразные функций, различные правила их вычислений. На этом уроке мы рассмотрим "реальные" задачи, которые решаются с помощью первообразных. Какое значение в этих задачах имеют первообразные, узнаем на следующем уроке.

Рассмотрим задачу, в которой надо вычислить площадь криволинейной трапеции. Что такое криволинейная трапеция?
Нарисуем в прямоугольной системе координат фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми $x=a$ и $x=b$ и некой непрерывной кривой на отрезке [a;b]. Кривую обозначим, как $y=f(x)$.
Фигура
На нашем рисунке изображена криволинейная трапеция, давайте попробуем вычислить ее площадь.
Используя геометрические методы, мы можем найти приблизительное значение площади нашей фигуры. Давайте разобьем наш отрезок на n равных частей, отметим внутри отрезка $[а;b]$ точки $x_1, x_2, x_3,…x_k,…x_{n-1}$ и через каждую точку проведем прямую, параллельную оси ординат. Тогда наша фигура разобьется на n столбиков. Площадь трапеции будет равна сумме площадей столбиков. Трапеция
Давайте рассмотрим отдельно произвольный столбик на отрезке $[x_k; x_{k+1}]$. Построим прямоугольник с высотой равной $f(x_k)$. Площадь нашего прямоугольники приблизительно равна площади столбика и вычисляется по формуле: $f(x_k)*∆(x_k)$. Где $∆(x_k)=(x_{k+1}-x_k)$.
Площадь столбика
Давайте так же поступим с каждым столбиком нашей трапеции. Столбики
Площадь криволинейной трапеции S приблизительно равна сумме площадей прямоугольников на нашем рисунке. Давайте запишем это высказывание на математическом языке:
$S_n=f(x_0)*∆x_0+f(x_1)*∆x_1+f(x_2)*∆x_2+⋯+f(x_k)*∆x_k+⋯\\+f(x_{n-1})*∆x_{n-1}$.
$∆x_0=x_1-x_0=x_1-a$.
$∆x_{n-1}=x_n-x_{n-1}=b-x_{n-1}$.
Начало и конец нашего отрезка мы взяли за начальное и конечное значение нашего разбиения. Также не забываем, что $∆x_0=∆x_1=∆x_2=⋯=∆x_{n-1}$.
Получили $S≈S_n$. Чем больше n, тем более точное наше приблизительное равенство.

В курсе высшей математики доказано, что искомая площадь криволинейной трапеции равно пределу суммы, которой мы построили, при n стремящимся к бесконечности.
\[S=\lim_{n \rightarrow ∞}S_n\]

Примеры задач с использованием интеграла


Рассмотрим другую задачу. Плотность и масса стержня. Пусть нам дан прямолинейный неоднородный стержень $[a;b]$. Плотность стержня в конкретной точке вычисляется по формуле $ρ=ρ(x)$. Требуется найти массу стержня.
Стержень
Масса тела m равна произведению объема тела V на его плотность ρ. В нашем случае вместо объема следует взять длину стержня, так как мы рассматриваем не объемную фигуру.
Если бы стержень был однородным, его массу было бы легко вычислить: $m_{однор.}=V*(b-a)$.
Наша задача несколько сложнее. Стержень не однородный, то есть в разных точках у него разная плотность. Воспользуемся методом, который мы применяли в предыдущей задаче, разобьем отрезок [a;b] на n равных частей.
Отрезок
Рассмотрим отрезок $[x_k;x_{k+1}]$. Будем считать плотность постоянной на этом отрезке. Тогда масса отрезка равна $m_k=ρ(x_k)*∆x_k$.
Также поступим со всеми оставшимися отрезками. Тогда масса стержня приближенно равна сумме масс таких отрезков: $m≈S_n$.
$S_n=m_0+m_1+m_2+⋯+m_k+⋯+m_{n-1}=$ $=ρ(x_0)*∆x_0+ρ(x_1)*∆x_1+⋯+ρ(x_k)*∆x_k+⋯+ρ(x_{n-1})*∆x_{n-1}$.
$∆x_0=x_1-x_0=x_1-a$.
$∆x_{n-1}=x_n-x_{n-1}=b-x_{n-1}$.
Опять же перейдем к пределу \[S=\lim_{n \rightarrow ∞}S_n\] Рассмотрим еще одну задачу. По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости V от времени t запишем, как $V=V(t)$. Найти расстояние, которое прошла точка за время $[a;b]$.
Движение в нашей задаче неравномерное, то есть в разные моменты времени, скорость разная.
Воспользуемся теми же методами, что и в прошлой задаче.
Разобьем временной отрезок $[a;b]$ на n равных частей. $t_1 ,t_2, t_3,…t_k ,…t_{n-1}$.
Рассмотрим отрезок $[t_k;t_{k+1}]$. На этом отрезке будем считать скорость постоянной. Тогда приблизительное расстояние пройденное на этом отрезке вычислить довольно легко. $S_k=V(t_k)*∆t_k$.
Вычислим приближенное значение расстояния на каждом отрезке. Тогда весь путь пройденной телом за время $[a;b]$, будет приблизительно равен
$S≈S_0+S_1+S_2+⋯+S_k+⋯+S_{n-1}=$ $=V(t_0)*∆t_0+V(t_1)*∆t_1+⋯+V(t_k)*∆t_k+⋯+V(t_{n-1})*∆t_{n-1}$.
И снова перейдем к пределу \[S=\lim_{n \rightarrow ∞}S_n\] Ребята, мы рассмотрели три задачи, которые в ходе решения пришли к одной и той же модели вычисления. Вообще таких задач множество: в экономике, в биологии, в механике, в строительстве. Широко применяется этот метод при строительстве различных самолетов и космических ракет, спутников.
На следующем уроке мы введем название этой операции и научимся с ней работать.
А пока, ребята, постарайтесь придумать какой-нибудь реальный объект, который можно описать нашим способом.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Понятие интеграла, определенный и неопределенный интеграл, Задачи приводящие к понятию интеграл. Урок и презентация для 11 класса