МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Вычисление площади с помощью интеграла

Урок и презентация по алгебре в 11 классе на тему:
"Вычисление площадей с помощью интеграла"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Вычисление площадей с помощью интеграла"
PDF (Acrobat Reader 8.0 и выше)    PPTX (Power Point)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.0"
Тренажёр по подготовке к ЕГЭ-2016. Математика (профильный уровень)



Ребята, на прошлом уроке мы вычисляли площади различных фигур, ограниченных некоторым графиком при наличии дополнительных условий. Во всех рассмотренных примерах нижним основанием требуемых фигур, служила прямая $y=0$. А если фигура ограничена снизу произвольной прямой?

Давайте рассмотрим произвольную фигуру. Сверху она ограничена графиком функции $y=f(x)$, снизу - графиком функции $y=g(x)$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. Учтем, что на отрезке $[a;b]$ выполняется неравенство $f(x)≥g(x)$.
Вычисление площади с помощью интеграла
До сих пор мы вычисляли площади фигур, которые были расположены выше оси абсцисс. Давайте параллельно перенесем нашу фигуру на m единиц вверх. Её площадь от такой операции не изменится, изменится только общий вид заданных функций. Сверху наша фигура будет ограничена функцией $y=f(x)+m$, снизу - $y=g(x)+m$.
Вычисление площади с помощью интеграла
Площадь требуемой фигуры S можно вычислить как разность двух площадей двух фигур.
Первую фигуру, ограниченную прямыми $x=a$ и $x=b$, осью абсцисс и функцией $y=f(x)+m$, обозначим как $S_1$. Вторую фигуру, ограниченную прямыми $x=a$ и $x=b$, осью абсцисс и функцией $y=g(x)+m$, обозначим как $S_2$.
Тогда:
$S_1=∫_a^b (f(x)+m)dx$.
$S_2=∫_a^b (g(x)+m)dx$.
$S=S_1-S_2=∫_a^b (f(x)+m)dx-∫_a^b (g(x)+m)dx=$ $=∫_a^b ((f(x)+m)-(g(x)+m))dx=∫_a^b (f(x)-g(x)+m-m)dx=$ $=∫_a^b (f(x)-g(x))dx$.
Площадь фигуры, ограниченной прямыми $x=a$ и $x=b$ и графиками функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$, непрерывных на отрезке $[a;b]$, вычисляется по формуле: $S=∫_a^b (f(x)-g(x))dx$. Причем для любого х из отрезка $[a;b]$ выполняется неравенство $g(x)≤ f(x).$

Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y=e^x$; $y=\frac{1}{x}$; $x=1$; $x=2$.
Решение.
Построим графики наших функций на одной координатной плоскости. Вычисление площади с помощью интеграла
Сверху наша фигура ограничена графиком функции $y=e^x$.
Снизу наша фигура ограничена графиком функции $y=\frac{1}{x}$.
Воспользуемся формулой вычисления площадей:
$S=∫_1^2 (e^x-\frac{1}{x})dx=∫_1^2 (e^x)dx-∫_1^2 \frac{1}{x}dx=$ $=e^x|_1^2–lnx|_1^2=e^2-e^1-(ln2-ln1)=e^2-e^1-ln2$.
Ответ: $S=e^2-e^1-ln2$.

Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y=x^2-3x+2$; $y=x-1$.
Решение.
Построим графики наших функций.
График первой функции - парабола. Ее вершину легко найти, приравняв уравнение производной к нулю: $y'=(x^2-3x+2)'=2x-3$.
$2x-3=0$.
$x=1,5$.
Вычислим значение самой функции в вершине: $y={(1,5)}^2-3*1,5+2=2,25-4,5+2=-0,25$.
Дальше график параболы легко построить по точкам.
График второй функции – прямая. Такие графики мы умеем строить.
Оба графика построим на одной координатной плоскости.
Вычисление площади с помощью интеграла
Площадь требуемой фигуры закрашена. Давайте вычислим ее.
$S=∫_1^3 (x-1-x^2+3x-2)dx=∫_1^3 ({-x}^2+4x-3)dx=$ $=∫_1^3 ({-x}^2)dx+∫_1^3 (4x)dx+∫_1^3 (-3)dx=-\frac{x^3}{3}|_1^3+2x^2|_1^3-3x|_1^3=$ $=-(\frac{27}{3}-\frac{1}{3})+2(9-1)-3(3-1)=-\frac{26}{3}+16-6=1\frac{1}{3}$.


Задачи для самостоятельного решения


1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: $y=e^{2x}$; $y=\frac{1}{3x}$; $x=1$; $x=3$.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: $y=x^2-2x$; $y=x+1$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Вычисление площади с помощью интеграла, урок и презентация в 11 класс, алгебра