МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Функция корня n степени

Урок и презентация по алгебре в 11 классе на тему: "Функция корня n-ой степени, примеры решений, построение графиков"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Функция корня n-й степени"PPTX (Power Point)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Тренажёр по подготовке к ЕГЭ-2016. Математика (базовый уровень)
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.0"



Функция корня n степени


Ребята, мы продолжаем изучать корни n-ой степени из действительного числа. Сегодня мы с вами изучим функцию $y=\sqrt[n]{x}$, построим график и найдем ее свойства.
Сначала рассмотрим нашу функцию в случае неотрицательного значения аргумента.
Наша функция является обратной для функции $y=x^n$, которая является монотонной функцией (это и значит, что у нее есть обратная функция). Давайте построим график функции $y=x^n$, тогда график нашей функции $y=\sqrt[n]{x}$ будет симметричен относительно прямой $y=x$. Не забываем, что мы рассматриваем случай неотрицательного значения аргумента, то есть $х≥0$.
График функции y=x^n

Свойства функции


Свойства функции $y=\sqrt[n]{x}$ при $x≥0$:
1. $D(f)=[0;+∞)$.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на $[0;+∞)$.
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наименьшее значение равно нулю, наибольшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=[0;+∞)$.
8. Выпукла вверх на луче $[0;+∞)$.
9. Внимательно посмотрев на наш график функции мы можем сказать, что в любой точке к нему можно провести касательную (точку $х=0$ не рассматриваем). А это значит, что наша функция дифференцируема в любой точке. Производной в точке $х=0$ не существует, так как касательная в этой точке совпадает с осью ординат.


Примеры построения графиков функции и решения уравнений


Пример. Построить график функции $y=\sqrt[4]{(x+2)}-2$.
Решение. График нашей функции получается из графика $y=\sqrt[4]{x}$ смещением на две единицы влево и на две единицы вниз относительно начала координат. График функции y=\sqrt[4]{(x+2)}-2
Пример. Решить уравнение $\sqrt[8]{x}=2x-1$.
Решение. Решим наше уравнение графическим способом. Построим два графика функции $\sqrt[8]{x}$ и $y=2x-1$. Найдем точку их пересечения. Решаем уравнение sqrt[8]{x}=2x-1
Наши графики пересекаются в одной точке (1;1). Подставив $x=1$ в исходное уравнение, получаем верное тождество $1=1$, значит точка $х=1$ - решение нашего уравнения.

Теперь давайте рассмотрим исходную функцию для нечетного показателя корня. На прошлом уроке мы с вами узнали, что $\sqrt[n]{x}$, если n нечетное существует и при $х<0$. Можно заметить, что в этом случае наша функция нечетная, давайте это проверим:
$f(-x)=\sqrt[n]{(-x)}=-\sqrt[n]{x}=-f(x)$,где $n=3,5,7,9…$.
Вспомнив свойство графика нечетной функции – симметричность относительно начала координат, давайте построим график функции $y=\sqrt[n]{x}$ для $n=3,5,7,9…$.
Отразим график функции, которой мы получили вначале, относительно начала координат. График функции y=\sqrt[n] Заметим, что ось ординат является касательной к графику нашей функции в точке $х=0$.

Пример.
Построить и прочитать график функции $y=f(x)$, где $f(x)$:
$f(x)=\begin{cases}\sqrt[5]{x}, x≤1\\ \frac{1}{x}, x>1\end{cases}$.
Решение. Последовательно построим два графика функции на разных координатных плоскостях, после полученные графики объединим в один. Построим график функции $y=\sqrt[5]{x}$, $x≤1$.
Таблица значений: Таблица значений графиков Таблица значений графиков График функции $y=\frac{1}{x}$ нам хорошо известен, это гипербола, давайте построим график при $x>1$.
График гиперболы Объединим оба графика:
Объединенные графики Ребята, давайте опишем свойства, которыми обладает наша функция:
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2.Ни четная, ни нечетная.
3. Убывает на $[1; +∞)$ и возрастает на $(-∞;1]$.
4. Неограниченна снизу, ограничена сверху.
5. Наименьшего значения нет, наибольшее значение равно 1.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=( -∞;1]$.
8. Функция дифференцируема всюду, кроме точек $х=0$ и $х=1$.
9. $\lim_{x \rightarrow +∞} f(x)=0$.

Пример. Найти область определения функций:

а) $y=\sqrt[6]{2x-10}$.
б) $y=\sqrt[5]{3x-6}$.
в) $y=\sqrt{3x-6}+\sqrt[8]{25-x^2}$.

Решение:
а) Показатель корня нашей функции – четный, значит под корнем должно находиться неотрицательное число.
Решим неравенство:
$2x-10≥0$.
$2x≥10$.
$x≥5$.
Ответ: $D(y)=[5;+∞)$.

б) Показатель корня нашей функции – нечетный, тогда под знаком корня может находиться любое число.
Ответ: $D(y)=(-∞;+∞)$.

в) Оба выражения данных в условии имеют смысл только при неотрицательных подкоренных выражениях, тогда нам надо решить систему уравнений:
$f(x)=\begin{array} 3x-6\\25-x^2 \end{array}$.
Последовательно найдем решения для каждого выражения:
$3x-6≥0$.
$3x≥6$.
$x≥2$.
Отметим наше решение на числовой прямой:
Числовая прямая и решение Решим второе неравенство:
$25-x^2≥0$.
$-x^2≥-25$.
$x^2≤25$.
$-5≤x≤5$.
Отметим наше решение на числовой прямой:
Числовая прямая Отметим найденные решения на одной координатной прямой: Функция корня n-степени Пересечением решений является отрезок: $[2;5].$ Это и есть область определения исходной функции.
Ответ: $D(y)=[2;5]$.


Задачи для самостоятельного решения


1. Построить график функции: $y=\sqrt[4]{x-3}+1$.
2. Решить уравнение $\sqrt[7]{x}=-x-2$.
3. Построить и прочитать график функции $y=f(x)$, где $f(x)$: $f(x)=\begin{cases}\sqrt[6]{x}, x≥1\\ x^3, x<1\end{cases}$.
4. Найти область определения функций:
а) $y=\sqrt[8]{3x-15}$.
б) $y=\sqrt[7]{2x-10}$.
в) $y=\sqrt{4x-12}+\sqrt[10]{36-x^2}$.



Комментарии  

#1 Раушания Зуфаровна 14.11.2016 11:38
спасибо за интересный материал
Цитировать

Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Функция корня n степени, примеры решения. Урок и презентация в 11 классе по алгебре