МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Логарифмические уравнения

Урок и презентация по алгебре в 11 классе на тему: "Логарифмические уравнения. Примеры решения логарифмических уравнений"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Логарифмические уравнения"PPTX (PowerPoint)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы"
Тренажёр по подготовке к ЕГЭ-2016. Математика (профильный уровень)



Знакомство с логарифмическими уравнениями


Ребята, мы продолжаем изучать большую тему логарифмов, сегодня мы с вами посмотрим, как решать различные уравнения, в которых есть логарифмы.
Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого вида: $\log_a{f(x)}=log_a{g(x)}$.

Не забываем все требования, выдвигаемые в определение логарифма. Вспомните самостоятельно о показателе логарифма и числе, стоящее под знаком логарифма.
Ребята, также вспомните теорему 4 урока "Свойства логарифмов". Опираясь на эту теорему, давайте сформулируем основный принцип при решении логарифмических уравнений.

Теорема. Если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то логарифмическое уравнение $\log_a{f(x)}=\log_a{g(x}$, где $a>0$, $a≠1$, равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.


Как же решать логарифмические уравнения?
  • От логарифмического уравнения $\log_a{f(x)}=\log_a{g(x}$ перейти к уравнению $f(x)=g(x)$.
  • Решить уравнения $f(x)=g(x)$.
  • Проверить каждый корень уравнения $f(x)=g(x)$ на условие $f(x)>0$ и $g(x)>0$.
  • Если корень уравнения удовлетворяет каждому из $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то это и есть решение исходного уравнения. Если хоть одно из условий $f(x)>0$ и $g(x)>0$ не выполняется, то этот корень не будет являться решением исходного уравнения.


Примеры решения логарифмических уравнений


Пример.
Решить уравнение: $\log_3{(x^2-2x-7)}=log_3{(x+3)}$.
Решение.
Избавимся от знака логарифма: $x^2-2x-9=x+1$.
Решим уравнение:
$x^2-2x-9=x+1$.
$x^2-3x-10=0$.
$(x-5)(x+2)=0$.
$x_1=5$ и $x_2=-2$.
Проверим полученные корни: $\begin{cases} f(x)=x^2-2x-9>0,\\ g(x)=x+1>0.\end{cases}$
Проверим первый корень: $\begin{cases} f(5)=5^2-2*5-9=6>0,\\g(5)=5+1=6>0.\end{cases}$
$x_1=5$ - решение исходного уравнения.
Проверим второй корень: $\begin{cases} f(-2)=(-2)^2-2*(-2)-9=-5<0,\\g(-2)=-2+1=-1<0.\end{cases}$
Второй корень не является решением исходного уравнения. Проверку можно было прекратить, когда подсчитали $f(-2)$.
Ответ: $x=5$.

Пример.
Решить уравнение: $\log_4{(x+3)}+\log_4{(x+1)}=\log_4{(6x+6)}$.
Решение.
Сумма логарифмов равна логарифму произведения:
$\log_4{(x+3)}+\log_4{(x+1)}=\log_4{(x+3)(x+1)}=\log_4{(x^2+4x+3)}$.
Перепишем исходное уравнение: $log_4{(x^2+4x+3)}=log_4{(6x+6)}$.
Наше уравнение равносильно уравнению:
$x^2+4x+3=6x+6$.
$x^2-2x-3=0$.
$(x-3)(x+1)=0$.
$x_1=3$ и $x_2=-1$.
Проверим наши корни: $\begin{cases} x+3>0,\\x+1>0,\\6x+6>0.\end{cases}$
Первый корень $x=3$, удовлетворяет каждому неравенству выше.
Второй корень $x=-1$, не удовлетворяет второму и третьему неравенству.
Ответ: $x=3$.

Пример.
Решить уравнение: $\lg^2{x}-\lg{x}+1=\frac{9}{\lg{10x}}$.
Решение.
Сначала рассмотрим правую часть уравнения: $\frac{9}{\lg{10x}}=\frac{9}{\lg{10x}+\lg{x}}=\frac{9}{1+\lg{1x}}$.
Исходное уравнение примет вид: $\lg^2{x}-\lg{x}+1=\frac{9}{1+\lg{1x}}$.
Давайте введем новые переменные. Пусть $y=\lg{x}.$
$y^2-y+1=\frac{9}{1+y}.$
Обратим внимание: $y≠-1$. Поскольку знаменатель правой части уравнения обращается в 0 при таком значении у.
$(1+y)(y^2-y+1)=9.$
$y^3+1=9.$
$y^3=8.$
$y=2.$
Введем обратную замену, тогда: $\lg{x}=2$ => $x=100.$
Ответ: $х=100.$


Давайте запишем основные способы решения логарифмических уравнений:
1. Графический метод. Представляем обе части уравнения в виде функций и строим их графики. Находим точки пересечений графиков.
2. Принцип равенства чисел, стоящих под знаком логарифма. Принцип основан на том, что два логарифма с одинаковыми основаниями равны, тогда и только тогда, когда равны числа, стоящие под знаком логарифма.
$\log_a{f(x)}=log_a{g(x)}$ <=> $f(x)=g(x).$
3. Метод замены переменных. Данный метод стоит применять, когда уравнение при замене переменных упрощает свой вид, и решить его становится гораздо легче.
4. Метод логарифмирования. Данный метод используется в случаях, когда вид уравнения значительно упрощается при логарифмировании обоих его частей. Подробнее этот метод рассмотрим на следующем примере.

Пример.
Решить уравнение: $x^{1+\log_3{x}}=9.$
Решение.
Обе части нашего уравнения принимают только положительные значения, тогда мы можем подсчитать логарифмы от каждой части. Возьмем логарифм по основанию 3.
$\log_3{(x^{1+\log_3{x}})}=log_3{9}.$
Вспомним важное свойство логарифма: $\log_a{b^r}=r*log_a{b}.$
Тогда:
$\log_3{(x^{1+\log_3{x}})}=(1+\log_3{x})(\log_3{x}).$
$\log_3{9}=\log_3{3^2}=2\log_3{3}=2.$
Введем новую переменную: $y=\log_3{x}.$
$(1+y)y=2.$
$y^2+y-2=0.$
$(y+2)(y-1)=0.$
$y_1=-2$ и $y_2=1.$
Введем обратную замену:
$\log_3{x}=-2$ и $\log_3{x}=1.$
$x=(3)^{-2}=\frac{1}{9}$ и $x=3^1=3.$
Ответ: $x=3$ и $x=\frac{1}{9}.$


Пример.
Решить систему уравнений: $\begin{cases} \log_9{(x-y)}=\frac{1}{2},\\log_{64}{x}-log_{64}{y}=\frac{1}{3}.\end{cases}$
Решение.
1. Рассмотри первое уравнение подробней:
$\log_9{(x-y)}=\frac{1}{2}.$
$(x-y)=9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3.$
2. Рассмотрим второе уравнение:
$\log_{64}{x}-log_{64}{y}=\frac{1}{3}.$
$\log_{64}{\frac{x}{y}}=\frac{1}{3}.$
$\frac{x}{y}={64}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4.$
Исходная система уравнений равносильна системе: $\begin{cases} x-y=3,\\ \frac{x}{y}=4.\end{cases}$
$\begin{cases} x-y=3,\\x=4y.\end{cases}$
$\begin{cases} 3y=3,\\x=4y.\end{cases}$
$\begin{cases} y=1,\\x=4.\end{cases}$
Проверим наше решение. Помним, что должны выполняться одновременно 3 неравенства:
$\begin{cases} (x-y>0,\\x>0\\y>0.\end{cases}$
Наше решение (4;1) удовлетворяет системе неравенств.
Ответ: (4;1).


Задачи на логарифмические уравнения для самостоятельного решения


1.Решить уравнение: $\log_5{(x^2-2x-9)}=\log_5{(x+9)}.$
2. Решить уравнение: $\log_7{(x-4)}+\log_7{(x+1)}=\log_7{(4x+4)}.$
3. Решить уравнение: $\lg^2{x}-2lg{x}+4=\frac{9}{\lg{100x}}.$
4. Решить уравнение: $x^{5+log_2{x}}=16.$
5. Решить систему уравнений: $\begin{cases} \log_9{(x+2y)}=\log_9{(3x+y)},\\ \log_5{(x^2-y)}=\log_5{x}.\end{cases}$



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Логарифмические уравнения, примеры решения. Урок и презентация по алгебре - 11 класс