Числовые функции. Понятие.

Ребята, мы переходим к изучению нового раздела – числовые функции. С понятием функция мы с вами знакомы давно, но что, же такое функция? Определения, как такового, мы не давали, этим мы и займемся сейчас. Стоит заметить, что многие явления в жизни описываются с помощью функций. Движение – это функции времени и скорости. В физике очень многое описывается с помощью функций, в химии и биологии тоже можно найти применение функциям.
Так что же такое функция? Какие функции мы с вами знаем?
Линейные функции – это функции, график которых представляет собой линию. Общий вид таких функций: $y=kx+b$.
Также мы изучали функции вида: $y=kx^2$; $y=ax^2+bx+c$; $y=\sqrt{x}$; $y=|x|$ - это представление функции в общем виде.

Давайте внимательно посмотрим на наши функции:
1. Во всех функциях присутствуют две переменные x и y. Причем, также, мы можем заметить, что y зависит от х, т.е. если меняется х, то меняется y. В математике принято называть одну переменную зависимой, а другую независимой. Во всех наших примерах: y- зависимая переменная, а x – независимая.
2. Если меняется х, то меняется и у. Тогда получается, что функция - это некоторое отображения х на у.
3. Функции принято записывать в виде $y=f(x)$. Стоит обратить внимание, что часто указывают числовой промежуток, откуда берется х.

Обобщим полученные сведения:
а) Функция это некоторое правило, записываемое в виде $y=f(x)$. Где х отображается на y, то есть, зная значение х, мы можем найти значение y.
б) Указывается числовой промежуток (ограниченный или бесконечный), из этого промежутка берутся значения независимой переменной.

Определение. Пусть задано некоторое множество Х и правило f, такое, что каждому элементу хϵХ ставится соответствие число $y=f(x)$, тогда Х называют – областью определения функции $y=f(x)$. х – аргумент или независимая переменная, y – зависимая переменная.

Область определения обозначают буквой D. Для функции $y=f(x)$, область определения обозначат D(f).

Числовые функции. Примеры.

Давайте рассмотрим некоторые примеры:

1. Область определения функции $y=\sqrt{x}$ является $D(f)=[0;+∞)$, поскольку квадратный корень мы можем извлекать только из неотрицательного числа.
Часто не указывают область определения, тогда подразумевается, что она совпадает с исходным выражением.

2. Найти область определения функции: $y=\sqrt{x^2+2x+1}$.
Решение. Область определения не указана, значит она совпадает с область определения исходного выражения.
$y=\sqrt{x^2+2x+1}=\sqrt{(x+1)^2}$ – значит, наша функция определена при всех значения х.
Тогда D(f)=(- ∞;+∞).

3. Найти область определения функции: $y=\sqrt{x^2+3x+2}$.
Нам надо решить неравенство $x^2+3x+2>0$, т.к. выражение, содержащее корень, имеет смысл только при неотрицательном выражении под корнем.
$(x+2)(x+1)>0$,
Решим неравенство методом интервалов: Тогда областью определения будет $D(f)=(- ∞;-2)U(-1;+ ∞)$.

4. Найти область определения функции: $y=\frac{1}{x^2-7x+12}$.
Исходное выражение определенно для всех х, кроме случая когда знаменатель $x^2-7x+12=0$, как мы помним на ноль делить нельзя. Решением уравнения являются числа $х1=4$ и $х2=3$.
Областью определения исходной функции будут промежутки: $D(f)=(- ∞;3)U(3;4)U(4;+ ∞)$, также можно использовать короткую запись $D(f):х≠3$ и $х≠4$.

Область значений числовых функций

Также важное понятие, связанное с функциями - это область значений функции.

Область значения функции – это все значения, которые может принимать $y=f(x)$, хϵХ. Обозначается как E(f).

Например, областью значений функции $y=\sqrt{x}$ будет промежуток (0;+∞]. $E(\sqrt{x})=(0;+∞]$.
Графиком функции $y=f(x)$, хϵХ называется множество F точек координатной плоскости xОy: F={(x;y)|xϵX,y=f(x)}.

Если известен график функции, то область значений найти нетрудно, достаточно посмотреть: какую область значений по координате у принимает наша функция.
Пусть у нас задана некоторая функция $y=f(x)$, график которой изображен ниже: По графику видно, что у изменяется от -3 до +3. Тогда область значений функции $Е(у)=[-3;3].$

Пример

Для функции $y=f(x)$, где f(x)=$\begin{cases}-2x^2,x≥0\\-2x+4,-3≤x<0\\10,-5≤x<-3\end{cases}$.
1. Найти область определения.
2. Вычислить значения f(2); f(0); f(-1); f(-4); f(-6).
3. Найти область значений.
Решение.
1. Область определения будет состоять из трех промежутков: [-5;-3), [-3;0), [0;+∞).
Объединим промежутки [-5;+∞).
Получаем область определения D(f)=[-5;+∞).
2. Значение $x=2$ удовлетворяет первому выражению, т.к. $2≥0$, тогда $f(2)=-8$.
Значение $x=0$ удовлетворяет первому выражению, т.к. $0≥0$, тогда $f(0)=0$.
Значение $x=-1$ удовлетворяет второму выражению, т.к. $-3≤-1<0$, тогда $f(-1)=2$.
Значение $x=-4$ удовлетворяет третьему выражению, т.к. $-5≤-4<-3$, тогда f(-4)=10.
Значение $x=-6$ не попадает в область определения функции. Тогда значение функции в этой точке вычислить невозможно.
3. Для определения области значения, построим графики функций на соответствующих промежутках. График функции $y=-2x^2$ при $x≥0$: График функции $y=-2x+4$ при $-3≤x<0$: График функции $y=10$ при $-5≤x<3$: Изобразим графики на одной координатной плоскости: По графику хорошо видна область значений исходной функции:(-∞;0] и (4;10].
E(f)= (-∞;0]U(4;10].

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти область определения:
а) $y=\sqrt{x^2+5x+4}$.

б) $y=\sqrt{x^2-5x-14}$.

в) $y=\frac{1}{x^2-8x+15}$.

г) $y=\frac{1}{\sqrt{x^2-8x+15}}$.

2. Найти область определения и область значений функции:
f(x)=$\begin{cases}3x^2,x≥1\\x-5,-2≤x<1\\-7,-6≤x<-2\end{cases}$.

3. Найти область определения и область значений функции:
f(x)=$\begin{cases}-\sqrt{x},x≥4\\-\frac{x}{2},-4≤x<4\\5,-6≤x<-4\end{cases}$.