МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Свойства функции. Алгебра – 9 класс. Уроки

Урок и презентация на тему: "Свойства функции. Возрастание и убывание функции."



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.


Урок и презентация на тему: "Свойства функции"Power Point (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Интерактивное учебное пособие для 9 класса "Правила и упражнения по геометрии"
Электронное учебное пособие "Понятная геометрия" для 7-9 классов



Ребята, мы продолжаем изучать числовые функции. Сегодня мы остановимся на такой теме, как свойства функции. Функции обладают многими свойствами. Вспомните, какие свойства мы с вами совсем недавно изучили. Правильно, область определения и область значений, они являются одними из ключевых свойств. Никогда не забывайте про них и помните, что функция всегда обладает этими свойствами.

В этом разделе, мы с вами определим некоторые свойства функций. Порядок, в котором мы будем их определять, рекомендую соблюдать и при решении задач.


Возрастание и убывание функции


Первое свойство, которое мы определим, это возрастание и убывание функции.

Функция называется возрастающей на множестве Х⊂D(f), если для любых х1 и х2, таких, что х1 < x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на множестве Х⊂D(f), если для любых х1 и х2, таких, что х1 < x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции.

Понятия "возрастание" и "убывание" функции очень легко понять, если внимательно посмотреть на графики функции. Для возрастающей функции: мы как бы поднимаемся в горку, для убывающей соответственно - спускаемся. Общий вид возрастающих и убывающих функции представлен на графиках ниже.

Свойства функции
Свойства функции

Возрастание и убывание функции в общем случае называется монотонностью. То есть, наша задача -это найти промежутки убывания и возрастания функции. В общем случае это формулируется так: найти промежутки монотонности или исследовать функцию на монотонность.

Пример

Исследовать на монотонность функцию $y=3x+2$.
Решение: Проверим функцию для любых х1 и х2 и пусть х1 < x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Поскольку, х1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Ограниченность функции


Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной снизу на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.

Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной сверху на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.

Если промежуток Х не указывается, то считают, что функция ограничена на всей области определения. Функция ограниченная и сверху, и снизу называется ограниченной.

Ограниченность функции легко читается по графику. Можно провести некоторую прямую
$у=а$, и если функция выше этой прямой, то ограниченность снизу. Если ниже, то соответственно сверху. Ниже представлен график ограниченной снизу функции. График ограниченной функции, ребята, попробуйте нарисовать сами.

График функции

Пример

Исследовать на ограниченность функцию $y=\sqrt{16-x^2}$.
Решение: Корень квадратный из некоторого числа больше либо равен нуля. Очевидно, что наша функция, также больше либо равна нуля, то есть ограниченна снизу.
Корень квадратный мы можем извлекать только из неотрицательного числа, тогда $16-x^2≥0$.
Решением нашего неравенства будет промежуток [-4;4]. На этом отрезке $16-x^2≤16$ или $\sqrt{16-x^2}≤4$, но это значит ограниченность сверху.
Ответ: наша функция ограниченна двумя прямыми $у=0$ и $у=4$.

Наибольшее и наименьшее значение


Наименьшим значение функции y= f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое, что:
a) Существует некоторое х0, что $f(x0)=m$.
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≥f(x0)$.

Наибольшим значение функции y=f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое что:
a) Существует некоторое х0, что $f(x0)=m$.
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≤f(x0)$.

Наибольшее и наименьшее значение принято обозначать yнаиб. и yнаим..

Понятия ограниченности и наибольшего с наименьшим значением функции тесно связаны. Выполняются следующие утверждения:
а) Если существует наименьшее значение у функции, то она ограничена снизу.
б) Если существует наибольшее значение у функции, то она ограничена сверху.
в) Если функция не ограничена сверху, то наибольшего значения не существует.
г) Если функция не ограничена снизу, то наименьшего значения не существует.

Пример

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=\sqrt{9-4x^2+16x}$.
Решение: $f(x)=y=\sqrt{9-4x^2+16x}=\sqrt{9-(x-4)^2+16}=\sqrt{25-(x-4)^2}≤5$.
При $х=4$ $f(4)=5$, при всех остальных значениях функция принимает меньшие значения или не существует, то есть это наибольшее значение функции.
По определению: $9-4x^2+16x≥0$. Найдем корни квадратного трехчлена $(2х+1)(2х-9)≥0$. При $х=-0,5$ и $х=4,5$ функция обращается в ноль, во всех остальных точках она больше нуля. Тогда, по определению, наименьшее значению функции равно нулю.
Ответ: yнаиб.=5 и yнаим.=0.

Ребята мы с вами еще изучали понятия выпуклости функции. При решении некоторых задач, нам это свойство может понадобиться. Это свойство, также легко определяется с помощью графиков.

Функция выпукла вниз, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется ниже линии соединения точек.

Функция выпукла вверх, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется выше линии соединения точек.

Свойства функции

Функция непрерывна, если график нашей функции не имеет разрывов, например, как график функции выше.

Если требуются найти свойства функции, то последовательность поиска свойств такова:
а) Область определения.
б) Монотонность.
в) Ограниченность.
г) Наибольшее и наименьшее значение.
д) Непрерывность.
е) Область значений.

Пример

Найти свойства функции $y=-2x+5$.
Решение.
а) Область определения D(y)=(-∞;+∞).
б) Монотонность. Проверим для любых значений х1 и х2 и пусть х1 < x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Поскольку х1 < x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
в) Ограниченность. Очевидно, что функция не ограничена.
г) Наибольшее и наименьшее значение. Поскольку функция не ограничена, то наибольшего и наименьшего значений не существует.
д) Непрерывность. График нашей функции не имеет разрывов, тогда функция непрерывна.
е) Область значений. Е(у)=(-∞;+∞).

Задачи на свойства функции для самостоятельного решения


Найти свойства функции:
а) $y=2x+7$,
б) $y=3x^2$,
в) $y=\frac{4}{x}$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Свойства функции, для 9 класса по алгебре