Ребята, мы продолжаем дальше изучать числовые последовательности. Сегодня остановимся на важной числовой последовательности, которой дали свое название – арифметическая прогрессия.

Так что же такое арифметическая прогрессия?

Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется арифметической прогрессией.

Арифметическая прогрессия – рекуррентно заданная числовая прогрессия.

Давайте запишем рекуррентную форму: $a_{1}=a$; $a_{n}=a_{n-1}+d$, число d – разность прогрессии. а и d – определенные заданные числа.

Пример. 1,4,7,10,13,16… Арифметическая прогрессия, у которой $а=1, d=3$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9… Арифметическая прогрессия, у которой $а=3, d=-3$.

Пример. 5,5,5,5,5… Арифметическая прогрессия, у которой $а=5, d=0$.

Арифметическая прогрессия обладает свойствами монотонности, если разность прогрессии больше нуля, то последовательность возрастающая, если разность прогрессии меньше нуля, то последовательность убывающая.

Если в арифметической прогрессии количество элементов конечно, то прогрессия называется конечной арифметической прогрессией.

Если задана последовательность $a_{n}$, и она является арифметической прогрессией, то принято обозначать: $a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, …$.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии

Арифметическую прогрессию можно задавать и в аналитической форме. Давайте посмотрим, как это сделать:
$a_{1}=a_{1}$.
$a_{2}=a_{1}+d$.
$a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d$.
$a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+3d$.
$a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+4d$.
Мы легко замечаем закономерность: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$.
Наша формула называется – формулой n-ого члена арифметической прогрессии.

Давайте вернемся к нашим примерам и запишем нашу формулу для каждого из примеров.

Пример. 1,4,7,10,13,16… Арифметическая прогрессия, у которой а=1, d=3. $a_{n}=1+(n-1)3=3n-2$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9… Арифметическая прогрессия, у которой а=3, d=-3. $a_{n}=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Пример. Дана арифметическая прогрессия: $a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, …$.
а) Известно, что $a_{1}=5$, $d=3$. Найти $a_{23}$.
б) Известно, что $a_{1}=4$, $d=5$, $a_{n}=109$. Найти n.
в) Известно, что $d=-1$, $a_{22}=15$. Найти $a_{1}$.
г) Известно, что $a_{1}=-3$, $a_{10}=24$. Найти d.
Решение.
а) $a_{23}=a_{1}+22d=5+66=71$.
б) $a_{n}=a_{1}+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
в) $a_{22}=a_{1}+21d=a_{1}-21=15=> a_{}1=36$.
г) $a_{10}=a_{1}+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Пример. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном остается 7, а при делении девятого члена на пятый в частном получается 2, а в остатке 5. Найти тридцатый член прогрессии.
Решение.
Запишем последовательно формулы 2,5 и 9 членов нашей прогрессии.
$a_{2}=a_{1}+d$.
$a_{5}=a_{1}+4d$.
$a_{9}=a_{1}+8d$.
Также из условия знаем:
$a_{9}=7a_{2}$.
$a_{9}=2a_{5}+5$.
Или:
$a_{1}+8d=7(a_{1}+d)$.
$a_{1}+8d=2(a_{1}+4d)+5$.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases}a_{1}+8d=7(a_{1}+d)\\a_{1}+8d=2(a_{1}+4d)+5\end{cases}$.
$\begin{cases}d=6a_{1}\\d=a_{1}+5\end{cases}$.
Решив систему получаем: $d=6, a_{1}=1$.
Найдем $a_{30}$.
$a_{30}=a_{1}+29d=175$.

Сумма конечной арифметической прогрессии

Пусть у нас есть конечная арифметическая прогрессия. Возникает вопрос, а можно ли посчитать сумму всех ее членов?
Давайте попробуем разобраться в этом вопросе.
Пусть дана конечная арифметическая прогрессия: $a_{1},a_{2},…a_{n-1},a_{n}$.
Введем обозначение суммы ее членов: $S_{n}=a_{1}+a_{2}+⋯+a_{n-1}+a_{n}$.
Давайте рассмотрим, на конкретном примере, чему равна сумма.

Пусть нам дана арифметическая прогрессия 1,2,3,4,5…100.
Сумма ее членов тогда представим вот так:
$S_{n}=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Но схожая формула применима для любой арифметической прогрессии:
$a_{3}+a_{n-2}=a_{2}+a_{n-1}=a_{1}+a_{n}$.
Давайте запишем нашу формулу в общем случае: $a_{k}+a_{n-k+1}=a_{1}+a_{n}$, где $k<1$.
Давайте выведем формулу для вычисления суммы членов арифметической прогрессии, запишем два раза формулу в разных порядках:
$S_{n}=a_{1}+a_{2}+⋯+a_{n-1}+a_{n}$.
$S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+⋯+a_{2}+a_{1}$.
Сложим между собой эти формулы:
$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+⋯+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})$.
В правой части нашего равенства n слагаемых, и мы знаем, что каждый из них равен $a_{1}+a_{n}$.
Тогда:
$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$.
Так же нашу формулу можно переписать в виде: так как $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$,
то $S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n$.
Чаще всего удобнее пользоваться именно этой формулой, поэтому хорошо бы ее запомнить!

Пример. Дана конечная арифметическая прогрессия.
Найти:
а) $s_{22},если a_{1}=7, d=2$.
б) d,если $a_{1}=9$, $s_{8}=144$.
Решение.
а) Воспользуемся второй формулой суммы $S_{22}=\frac{2a_{1}+d(22-1)}{2}*22=\frac{14+2(22-1)}{2}*22=616$.
б) В этом примере воспользуемся первой формулой: $S_{8}=\frac{8(a_{1}+a_{1})}{2}=4a_{1}+4a_{8}$.
$144=36+4a_{8}$.
$a_{8}=27$.
$a_{8}=a_{1}+7d=9+7d$.
$d=2\frac{4}{7}$.

Пример. Найти сумму всех нечетных двухзначных чисел.
Решение.
Члены нашей прогрессии представляют собой: $a_{1}=11$, $a_{2}=13$, …, $a_{n}=99$.
Давайте найдем номер последнего члена прогрессии:
$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Теперь найдем сумму: $S_{45}=\frac{45(11+99)}{2}=2475$.

Пример. Ребята отправились в поход. Известно, что за первый час они прошли 500 м, после они стали проходить на 25 метров меньше, чем в первый час. За сколько часов они пройдут 2975 метров?
Решение.
Путь, пройденный за каждый час можно представить в виде арифметической прогрессии:
$a_{1}=500$, $a_{2}=475$, $a_{3}=450…$.
Разность арифметической прогрессии равна $d=-25$.
Путь, пройденный в 2975 метров представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.
$S_{n}=2975$, где n - часы потраченные на путь.
Тогда:
$S_{n}=\frac{1000-25(n-1)}{2}$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=5950$.
Разделим обе части на 25.
$40n-(n-1)n=238$.
$n^2-41n+238=0$.
$n_{1}=7$, $n_{2}=34$.
Очевидно, что логичнее выбрать $n=7$.
Ответ. Ребята были в пути 7 часов.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Ребята, пусть дана арифметическая прогрессия, давайте рассмотрим произвольных три последовательных члена прогрессии: $a_{n-1}$, $a_{n}$, $a_{n+1}$.
Мы знаем что:
$a_{n-1}=a_{n}-d$.
$a_{n+1}=a_{n}+d$.
Давайте сложим наши выражения:
$a_{n-1}+a_{n+1}=2a_{n}$.
$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.

Если прогрессия конечная, то это равенство выполняется для всех членов, кроме первого и последнего.
Если заранее неизвестно, какой вид у последовательности, но известно что: $a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.
Тогда можно смело говорить, что это арифметическая прогрессия.

Числовая последовательность является арифметической прогрессией, когда каждый член этой прогрессии равен среднему арифметическому двух соседних членов нашей прогрессии (не забываем, что для конечной прогрессии это условие не выполняется для первого и последнего члена прогрессии).

Пример. Найти такие х, что $3х+2$; $x-1$; $4x+3$ – три последовательных члена арифметической прогрессии.
Решение. Воспользуемся нашей формулой:
$x-1=\frac{3x+2+4x+3}{2}$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac{2}{5}=-1,4$.
Проверим, наши выражения примут вид: -2,2; -2,4; -2,6.
Очевидно что, это члены арифметической прогрессии и $d=-0,2$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите двадцать первый член арифметической прогрессии 38;30;22…
2. Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии 10,21,32…
3. Известно, что $a_{1}=7$, $d=8$. Найти $a_{31}$.
4. Известно, что $a_{1}=8$, $d=-2$, $a_{n}=-54$. Найти n.
5. Найдите сумму первых семнадцати членов арифметической прогрессии 3;12;21….
6. Найти такие х, что $2х-1$; $3x+1$; $5x-7$ – три последовательных члена арифметической прогрессии.