Что будем изучать:

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения по графику функции.
2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной.
3. Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции y=f(x) на отрезке [a;b].
4. Наибольшее и наименьшее значение функции на незамкнутом интервале.
5. Примеры.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения по графику функции

Ребята, мы с вами находили наибольшее и наименьшее значения функции и раньше. Мы смотрели на график функции и делали вывод, где функция достигает наибольшего значения, а где - наименьшего.
Давайте повторим:

По графику нашей функции видно, что наибольшее значение достигается в точке x= 1, оно равно 2. Наименьшее значение достигается в точке x= -1, и оно равно -2. Данным способом довольно просто находить наибольшие и наименьшие значения, но не всегда существует возможность построить график функции.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной

Ребята, а как вы думаете, как с помощью производной можно найти наибольшее и наименьшее значение?

Ответ можно найти в теме экстремумы функции. Там мы с вами находили точки максимума и минимума, не правда ли термины похожи. Однако, путать наибольшее и наименьшее значение с максимум и минимум функции нельзя, это разные понятия.

Итак, давайте введем правила:
а) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке.
б) Наибольшего и наименьшего значения функция может достигать как на концах отрезках, так и внутри него. Давайте рассмотрим этот пункт подробнее.

На рисунке а функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезках [a;b].
На рисунке б функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения внутри отрезка [a;b]. На рисунке в точка минимума находится внутри отрезка, а точка максимума - на конце отрезка, в точке b.
в) Если наибольшее и наименьшее значение достигается внутри отрезка, то только в стационарных или критических точках.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции y= f(x) на отрезке [a;b]

• Найти производную f'(x).
• Найти стационарные и критические точки внутри отрезка [a;b].
• Вычислить значение функции в стационарных и критических точках, а так же в f(a) и f(b). Выбрать наименьшее и наибольшее значения, это и будут точки наименьшего и наибольшего значения функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции на незамкнутом интервале

Ребята, а как же искать наибольшее и наименьшее значение функции на незамкнутом интервале? Для этого воспользуемся важной теоремой, которая доказывается в курсе высшей математики.

Теорема. Пусть функция y= f(x) непрерывна на промежутке x, и имеет внутри этого промежутка единственную стационарную или критическую точку x= x0, тогда:
а) если x= x0 – точка максимума, то y_наиб.= f(x0).
б) если x= x0 – точка минимума, то y_наим.= f(x0).

Пример

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= $\frac{x^3}{3}$ + 2x² + 4x - 5 на отрезке
а) [-9;-1], б) [-3;3], в) [3;9].
Решение: Найдем производную: y'= x² + 4x + 4.
Производная существует на всей области определения, тогда нам надо найти стационарные точке.
y'= 0, при x= -2.
Дальнейшие расчеты проведем для требуемых отрезков.
а) Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарной точки.
Тогда y_наим.= -122, при x= -9; y_наиб.= y = -7$\frac{1}{3}$, при x= -1.
б) Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке. Наибольшее и наименьшее значение достигается на концах отрезка.
Тогда y_наим.= -8, при x= -3, y_наиб.= 34, при x= 3.
в) Стационарная точка не попадает на наш отрезок, найдем значения на концах отрезка.
Тогда y_наим.= 34, при x= 3, y_наиб.= 436, при x= 9.

Пример

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x² - 3x + 5 + |1-x| на отрезке [0;4].
Решение: Раскроем модуль и преобразуем нашу функцию:
y= x² - 3x + 5 + 1 - x, при x ≤ 1.
y= x² - 3x + 5 - 1 + x, при x ≥ 1.

Тогда наша функция примет вид:
\begin{equation*}f(x)= \begin{cases} x^2 - 4x + 6,\quad при\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad при\quad x ≥ 1 \end{cases} \end{equation*} Найдем критические точки: \begin{equation*}f'(x)= \begin{cases} 2x - 4,\quad при\quad x ≤ 1 \\ 2x - 2,\quad при\quad x ≥ 1 \end{cases} \end{equation*} \begin{equation*}f'(x)=0,\quad при\quad x= \begin{cases} 2,\quad при\quad x ≤ 1 \\ 1,\quad при\quad x ≥ 1 \end{cases} \end{equation*} Итак, мы имеем две стационарные точки и не будем забывать, что наша функция состоит как бы из двух функций при разных x.
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции, для этого вычислим значения функции в стационарных точках и на концах отрезка:
Ответ: Функция достигает наименьшего значения в стационарной точке x= 1, y_наим.= 3. Функция достигает наибольшего значения на конце отрезка в точке x= 4, y_наиб.= 12.

Пример

Найти наибольшее значение функции y= $\frac{3x}{x^2 + 3}$ на луче: [0;+∞).
Решение: Найдем производную нашей функции:

y'= $\frac{(3x)'(x^2+3)-(x^2+3)'(3x)}{(x^2+3)^2}$= $\frac{3(x^2+3)-(2x)(3x)}{(x^2+3)^2}$= $\frac{3x^2+9-6x^2}{(x^2+3)^2}$= $\frac{-3x^2+9}{(x^2+3)^2}$

Производная определена всюду.
Найдем стационарные точки:
y'= = $\frac{-3x^2+9}{(x^2+3)^2}$ = 0
$\frac{-3x^2+9}{(x^2+3)^2}$= 0
-3x² + 9= 0
-3x²= -9
x²= 3
x= ±√3
Отрезку [0;+∞) принадлежит только точка x= √3.
Определим характер монотонности около этой точки:
Тогда x= √3 – точка максимума. Используя теорему о наибольшем и наименьшем значение функции на незамкнутом интервале, получаем, что в точке x= √3 достигается наибольшее значение.
Найдем наименьшее значение:
y(√3)= $\frac{3√3}{√3^2 + 3}$= $\frac{3√3}{6}$= $\frac{√3}{2}$.

Ответ: y_наиб.= $\frac{√3}{2}$.

Задачи для самостоятельного решения

а) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x⁴ - 3x³ + 2x² - 9x + 1
на отрезке а) [-3;1], б) [2;5], в) [-4;7].
б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x² - 6x + 8 + |x - 2| на отрезке [-1;5].
в) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= $-2x-\frac{1}{2x}$ на луче (0;+∞).