МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Производная. Алгебра – 10 класс

Урок и презентация на тему: "Что такое производная? Определение и вычисление производной"



Материалы для скачивания для 10 класса
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Что такое производная?"
PDF (Acrobat Reader 8.0 и выше)    DOCX (Microsoft Word)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы"
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.0"



Что будем изучать:
1. Введение в понятие производной.
2. Чуть-чуть истории.
3. Определение производной.
4. Производная на графике функции. Геометрический смысл производной.
5. Алгоритм нахождения производной функции.
6. Дифференцирование функции.
7. Примеры.


Введение в понятие производной


Существует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом. Например, если рассмотреть такие задачи как:

а) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти с какой скоростью растет счет.
б) Завод выпускает конфеты, есть некоторый постоянный прирост выпуска конфет, найти насколько быстро увеличивается прирост конфет.
в) Скорость движения автомобиля в некоторый момент времени t, если известно положение автомобиля, и он движется по прямой линии.
г) Нам дан график функции и в некоторой точке к нему проведена касательная, требуется найти тангенс угла наклона к касательной.
Формулировка наших задач совершенно разная, и, кажется, что они решаются совершенно разными способами, но математики придумали как можно решить все эти задачи совершенно одинаковым способом. Было введено понятие производной.


Чуть-чуть истории


Термин производная ввел великий математик – Ж.Лагранж, перевод на русский язык получается из французского слова derivee, он же и ввел современные обозначения производной которые мы рассмотрим позже.
Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно.
Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики. Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная.


Определение производной


Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x0. Приращение аргумента Δx – не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Δy и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначают f’(x0).

Производная
Попробуем объяснить, что такое производная не математическим языком:
На математическом языке: производная - предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
На обычном языке: производная – скорость изменения функции в точке x0.
Давайте посмотрим на графики трех функций:
Производная
Ребята, как вы думаете, какая из кривых растет быстрее?
Ответ, кажется, очевиден всем 1 кривая растет быстрее остальных. Мы смотрим, насколько круто идет вверх график функции. Другими словами — насколько быстро меняется ордината при изменении х. Одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.


Производная на графике функции. Геометрический смысл производной


Теперь давайте посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции:
График производной
Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Определение. Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

f' (x0)=tg(α)

Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
И так производная нашей функции равна:

Производная
И так производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, это геометрический смысл производной.


Алгоритм нахождения производной функции


Алгоритм нахождения производной функции y=f(x).
а) Зафиксировать значение x, найти f(x).
б) Найти приращение аргумента x+ Δx, и значение приращения функции f(x+ Δx).
в) Найти приращение функции Δy= f(x+ Δx)-f(x).
г) Составить соотношение: Δy/Δx
д) Вычислить

Производная
- это и есть производная нашей функции.

Дифференцирование функции


Если функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x).
Вернемся к вопросу непрерывности функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда просто напросто нельзя провести касательную.
И так запишем выше сказанное как определение:
Определение. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но касательную провести нельзя, а значит и производной не существует.

Производная

Примеры производной


Найти производную функции: y=3x
Решение:
Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
1) Для фиксированного значения x, значение функции y=3x
2) В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=3(x+ Δx)=3x+3 Δx

3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 3x+3 Δx-3x=3Δx

4) Составим соотношение:
Соотношение

5)Найдем предел:
Предел производной
Ответ: f' (x)=3

Найти производную функции y=5x2

Решение:
Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.

1)Для фиксированного значения x, значение функции y=5x2

2)В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=5(x+ Δx)^2=5(x2+2xΔx+Δx2)

3)Найдем приращение функции:

Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 5x2+10xΔx+5Δx2-5x2=10xΔx+5Δx2

4) Составим соотношение:

Производная
5)Найдем предел:

Производная
Ответ: f' (x)=10x

Найти производную функции y=2x2-x+1

Решение:

Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.

1)Для фиксированного значения x, значение функции

y=2x2-x+1

2)В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=2(x+ Δx)2-(x+ Δx)+1= =2(x2+2xΔx+Δx2 )-(x+ Δx)+1

Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= = 2x2+4xΔx+ 5Δx2-(x+ Δx)+1-2x2+x-1= =4xΔx+5Δx2-Δx
3) Составим соотношение:

Производная
5)Найдем предел:

Производная
Ответ: f' (x)=4x-1


Задачи для самостоятельного решения


Найти производную функции:
а) $y=5$;
б) $y=10x$;
в) $y=2x^2+x$;
г) $y=3x^3$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Производная, введение и определение в 10 классе по алгебре