МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Синус и косинус. Алгебра – 10 класс

Урок и презентация на тему: "Синус и косинус, определение. Основное тригонометрическое тождество"



Материалы для скачивания для 10 класса
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Синус и косинус"Power Point (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
"Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7–10 классов" Программная среда "1С: Математический конструктор 6.0"



Что будем изучать:
1. Определение синуса и косинуса.
2. Определение тангенса и котангенса.
3. Основное тригонометрическое тождество.
4. Таблица значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
5. Основные свойства.
6. Синус и косинус в жизни.
7. Примеры и задачи.


Синус и косинус. Определения


Ребята, давайте отметим на числовой окружности точку $Р$. Посмотрите на рисунок, наша точка $Р$ соответствует некоторому числу $t$ числовой окружности, тогда абсциссу точки  $Р$ будем называть косинусом числа $t$ и обозначать $cos(t)$, а ординату точки  $Р$ назовем синусом числа $t$ и обозначим $sin(t)$.

Синус, косинус

А как будет выглядеть запись синуса и косинуса на математическом языке?

Наша точка $Р(t) = Р(x,y)$. Тогда: $x = cos(t)$, $y = sin(t)$.

Тангенс и котангенс. Определения


Так же важно определить понятие тангенса и котангенса числа t числовой окружности, запишем определения.

Отношение синуса числа $t$ к косинусу того же числа называют тангенсом числа $t$ и обозначают $tg(t)$.
$tg=\frac{sin(t)}{cos(t)}$.
Отношение косинуса числа $t$ к синусу того же числа называют котангенсом числа $t$ и обозначают $ctg(t)$.
$ctg=\frac{cos(t)}{sin(t)}$.

Так как на 0 делить нельзя, то для тангенса: $cos(t) ≠ 0$, а для котангенса: $sin(t) ≠ 0$.


Основное тригонометрическое тождество


Давайте вспомним уравнение числовой окружности: $x^2 + y^2 = 1$.
Нашему числу $Х$ соответствует абсцисса координатной плоскости, а числу $Y$ – ордината. Тогда: $x^2+y^2=sin(t)^2+cos(t)^2=1$.

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса в четвертях окружности:

Тангенс, котангенс

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса в четвертях окружности:

Тангенс, котангенс

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса


Тангенс, котангенс не сущ. – не существует значение, т.к. на 0 делить нельзя.

Основные свойства синуса и косинуса


Для любого числа $t$ справедливы равенства:
$sin(-t) = -sin(t)$.
$cos(- t) = cos(t)$.
$tg(- t) = -tg(t)$.
$ctg(- t) = -ctg(t)$.

$sin(t + 2π*k) = sin(t)$.
$cos(t +2π*k ) = cos(t)$.

$sin(t + π ) = -sin(t)$.
$cos(t +π ) = -cos(t)$.

$tg(t + π*k ) = tg(t)$.
$ctg(t +π*k ) = ctg(t)$.

$sin(t + \frac{π}{2}) = cos(t)$.
$cos(t + \frac{π}{2}) = -sin(t)$.

Синус и косинус в жизни


Для чего нужны синусы и косинусы в обычной жизни?
На практике синусы и косинусы применяются во всех инженерных специальностях, особенно в строительных. Их используют моряки и летчики в расчетах курса движения. Не обходятся без синусов и косинусов геодезисты и даже путешественники. В географии эти понятия применяют для измерения расстояний между объектами и в спутниковых навигационных системах. Синус и косинус в жизни
Пример 1.
Вычислить синус и косинус $t$, при $t=\frac{53π}{4}$.

Решение:
Поскольку, числам $t$ и $t+2π*k$, $k$ – целое число, соответствует одна точка числовой окружности, то:
$\frac{53π}{4}=(12 + \frac{5}{4})*π = 12π + \frac{5π}{4}=\frac{5π}{4} + 2π*6$.
Воспользуемся свойством: $sin(t + 2π*k ) = sin(t)$, $cos(t +2π*k)= cos(t)$.
$sin(\frac{5π}{4} + 2π*6) = sin(\frac{5π}{4}) = sin(\frac{π}{4} + π)$.
$cos(\frac{5π}{4} + 2π*6) = cos(\frac{5π}{4})=cos(\frac{π}{4} + π)$.
Воспользуемся свойством: $sin(t + π ) = -sin(t)$, $cos(t+π) =-cos(t)$.
$sin(\frac{π}{4} + π)=-sin(\frac{π}{4})$.
$cos(\frac{π}{4} + π)=-cos(\frac{π}{4})$.
Из таблицы значений синуса и косинуса получаем: $sin(\frac{53π}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$; $cos(\frac{53π}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Пример 2.
Вычислить синус и косинус $t$, при $t=-\frac{49π}{3}$.

Решение:
Поскольку, числам $t$ и $t+2π*k$, $k$ – целое число, соответствует одна точка числовой окружности, тогда:
$-\frac{49π}{3}=-(16 + \frac{1}{3})*π =-16π +(-\frac{π}{3}) = (-\frac{π}{3}) + 2π*(-8)$.
Воспользуемся свойством: $sin(t + 2π*k ) = sin(t)$, $cos(t +2π*k)= cos(t)$.
$sin(-\frac{π}{3} + 2π*(-8) )=sin(-\frac{π}{3} )$.

$cos(-\frac{π}{3} + 2π*(-8) )=cos(-\frac{π}{3} )$.

Воспользуемся свойством: $sin(- t) = -sin(t)$, $cos(- t) = cos(t)$.

$sin(-\frac{π}{3})=-sin(\frac{π}{3})$.

$cos(-\frac{π}{3})=cos(\frac{π}{3})$.

Из таблицы значений синуса и косинуса получаем: $sin(-\frac{49π}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; $cos(-\frac{49π}{3})=\frac{1}{2}$.

Пример 3.
Решите уравнение и неравенство:
а) $sin(t)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
б) $sin(t)>\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение:
Уравнение и неравенство $sin(t)$ – это ордината точки числовой окружности (из определения).
Значит на числовой окружности нужно найти точки с ординатой $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Пусть, это будут точки F и G. Определим, каким значениям $t$ соответствуют точки $F$ и $G$ на рисунке.
а) Точки $F$ и $G$ имеют координаты: $\frac{π}{3} +2 π*k$ и $\frac{2π}{3}+2 π*k$.
б) Точки, которые удовлетворяют неравенству $sin(t)>\frac{\sqrt{3}}{2}$, расположены на дуге FG.
Тогда: $\frac{π}{3} +2 π*k<t<\frac{2π}{3} +2 π*k$.
Ответ :
a) $t=\frac{π}{3}+2 π*k$ и $t= \frac{2π}{3} +2 π*k$.
б) $\frac{π}{3}+2 π*k<t<\frac{2π}{3} +2 π*k$.

Пример 4.
Решить уравнение и неравенство:
а) $cos(t)=\frac{1}{2}$.
б) $cos(t)>\frac{1}{2}$.

Решение:
Уравнение $cos(t)$ – это абсцисса точки числовой окружности (из определения).
Значит, на числовой окружности необходимо найти точки с абсциссой равной $\frac{1}{2}$. Пусть это будут точки F и G (см. рисунок). Надо определить, каким значениям $t$, они соответствуют.
а) Точки F и G имеют координаты: $-\frac{π}{3}+2π*k$ и $\frac{π}{3}+2π*k$.
б) Точки, которые удовлетворяют неравенству $cos(t)>\frac{1}{2}$, расположены на дуге FG.
Тогда: $-\frac{π}{3}+2π*k<t<\frac{π}{3}+2π*k$.

Ответ:
a) $-\frac{π}{3}+2π*k$ и $\frac{π}{3}+2π*k$.

б) $-\frac{π}{3}+2π*k<t<\frac{π}{3}+2π*k$.

Пример 5.
Вычислить тангенс и котангенс $t$, при: $t=-\frac{7π}{3}$.
Решение:

Числам $t$ и $t+2π*k$, где k – целое число, соответствует одна точка числовой окружности, тогда:
$-\frac{7π}{3} = -(2 + \frac{1}{3})*π = -2π +(-\frac{π}{3}) = (-\frac{π}{3}) + 2π$.

Воспользуемся свойством: $tg(x+ π*k) = tg(x)$, $ctg(x+π*k) = ctg(x)$.
$tg((-\frac{π}{3}) + 2π ) = tg(-\frac{π}{3})$.
$сtg((-\frac{π}{3}) + 2π ) = сtg(-\frac{π}{3})$.
Воспользуемся свойством: $tg(-x) = -tg(x)$, $ctg(-x) = -ctg(x)$.
$tg(-\frac{π}{3})=-tg(\frac{π}{3})$.
$сtg(-\frac{π}{3})=-сtg(\frac{π}{3})$.
Из таблицы значений получаем: $tg(-\frac{7π}{3}) =-tg(\frac{π}{3}) = -\sqrt{3}$.
$сtg(-\frac{7π}{3}) = -сtg(\frac{π}{3}) =-\frac{\sqrt{3}}{3}$.


Примеры для самостоятельного решения:


1) Вычислить синус и косинус $t$, при
а) $t=\frac{61π}{6}$,
б) $t= -\frac{52π}{3}$.

2) Решите уравнения:
a) $sin(t)=-\frac{1}{2}$;
б) $sin(t) >-\frac{1}{2}$;
в) $sin(t) < -\frac{1}{2}$.
3) Решите уравнения:
a) $cos(t)=-\frac{1}{2}$;
б) $cos(t) >-\frac{1}{2}$;
в) $cos(t) < \frac{1}{2}$.
4) Вычислить тангенс и котангенс $t$, при
а) $t= \frac{19π}{6}$;
б) $t=\frac{41π}{4}$.



Комментарии  

#1 Павел 17.06.2016 09:12
Сижу и мозг ломаю. Цифры из воздуха берутся.
Цитировать
#2 Grigorii 17.06.2016 12:21
Ну почему же. Все примеры делал опытный преподаватель. Что конкретно вам не нравится, Павел?
Цитировать
#3 Илля 18.09.2016 14:49
А можно статейку с объяснением как для обезьянки - видишь такую циферку, значит смотришь сюда, а потом пишешь вот это. Без излишних подробностей, в двух словах. Я гуманитарий и по математике у меня кол! Единственное для чего годится эта статья - порадоваться за препода, за его блестящий ум и понимание каждой мелочи.
Цитировать
#4 Виктория 03.10.2016 08:01
Спасибо
Цитировать

Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Синус, косинус, тангенс, котангенс - 10 класс, урок и презентация