МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Алгебра – ОГЭ. Задания с решением

Разбор задания №1 на тему: "Действия с дробями: умножение и вычитание, выделение целой части из неправильной дроби, обратные операции"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Множество рациональных и иррациональных чисел"
PowerPoint (PPTX)      Уроки по алгебре для 9 класса

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Комбинаторика и теория вероятностей    Уравнения и неравенства



Ребята, задание №1 охватывает темы, которые, в основном, проходятся в 5-6 классах.

Для правильного решения данного задания требуются умение:
  • работать с простыми и десятичными дробями,
  • переводить простые дроби в десятичные и обратно,
  • возводить числа в целую степень,
  • а также понимание понятий рациональных и действительных чисел.


Уроки которые помогут вам при подготовке данного задания:


1.Сложение десятичных дробей, примеры.
2. Сложения натуральных чисел, примеры.
3. Свойства вычитания чисел, примеры.
4. Вычитание десятичных дробей: правила и примеры.
5. Сложение и вычитание отрицательных чисел, правила и примеры.
6. Пропорции и отношения.
7. Умножение десятичных дробей, примеры.
8. Сложение и вычитание дробей, примеры.
9. Умножение и деление дробей, примеры.
10. Возведение в целую степень, примеры– скоро будет.


Давайте подробно разберем примеры заданий, которые вам могут встретиться.

Пример 1.
В данном примере потребуется умение умножать и вычитать дроби, выделять целую часть из неправильной дроби и также проводить обратную операцию.
Найти значение следующего выражения: $1\frac{2}{5}*2\frac{2}{3}-1\frac{2}{3}*3\frac{1}{2}$.

Решение.
Ребята, давайте разобьем решение на несколько действий. Первое, что мы знаем, что умножать дроби с целой частью мы не умеем. Значит, нам надо каждую дробь привести в неправильную дробь.
1. Вспомним правило перевода в неправильную дробь: чтобы получить числитель - целую часть надо умножить на знаменатель и к полученному числу прибавить числитель исходной дроби. Знаменатель остается неизменным, всегда получается числитель больше знаменателя:
$1\frac{2}{5}=\frac{1*5+2}{5}=\frac{7}{5}$.
Давайте выполним аналогичные операции для оставшихся дробей:
$\frac{7}{5}*\frac{2*3+2}{3}-\frac{1*3+2}{3}*\frac{3*2+1}{2}=\frac{7}{5}*\frac{8}{3}-\frac{5}{3}*\frac{7}{2}$.

2. Все прекрасно помнят, что умножение выполняется раньше сложения и вычитания. Далее, нам надо вспомнить правило умножения двух дробей, числитель мы умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель:
$\frac{7}{5}*\frac{8}{3}-\frac{5}{3}*\frac{7}{2}=\frac{56}{15}-\frac{35}{6}$.

3. Нам осталось вычесть две дроби. Вспомним, что при сложении и вычитании сначала надо найти общий знаменатель двух дробей, то есть наименьшее общее кратное. У нас есть два знаменателя – числа 15 и 6. Для этих двух чисел наименьшим общим кратным будет число 30.
Если умножить числитель и знаменатель на одно и тоже число, то значение дроби не изменится.
$\frac{56}{15}-\frac{35}{6}=\frac{56*2}{15*2}-\frac{35*5}{6*5}=\frac{112}{30}-\frac{175}{30}=-\frac{63}{30}$.

4. Нам осталось перевести обычную дробь в десятичную, т.к. в бланке ответов ОГЭ мы можем записать числа в десятичном виде.
Выделим целую часть и затем сократим дробь.
$-\frac{63}{30}=-2\frac{3}{30}=-2\frac{1}{10}=-2,1$.

Еще раз распишем решение:
$1\frac{2}{5}*2\frac{2}{3}-1\frac{2}{3}*3\frac{1}{2}=\frac{1*5+2}{5}*\frac{2*3+2}{3}-\frac{1*3+2}{3}*\frac{3*2+1}{2}=\frac{7}{5}*\frac{8}{3}-\frac{5}{3}*\frac{7}{2}=$ $=\frac{56}{15}-\frac{35}{6}=\frac{56*2}{15*2}-\frac{35*5}{6*5}=\frac{112}{30}-\frac{175}{30}=-\frac{63}{30}=-2\frac{3}{30}=-2\frac{1}{10}=-2,1$.
Ответ: $-2,1$.

Пример 2.
Вычислите значение выражения $0,007*0,00007*700$.

Решение.
В данном примере мы можем поступить двумя способами: 1) перемножить все числа "напрямую"; 2) воспользоваться знаниями темы о возведении в целую степень.

1. Первое, на что следует обратить внимание - в каждом числе встречается цифра 7. Это сделано не просто так. Попробуем упростить представленные дробные числа. Как можно представить число 0,007 в виде произведения? $0,007=0,001*7$.

Не стоит бояться упрощать дробные числа. Если в начале дробного числа присутствуют все нули, а заканчивается эта дробь некоторым числом, то его всегда можно представить в виде произведения.
Например: $0,0256=0,0001*256$; $0,00008=0,00001*8$; $0,3562=0,0001*3562$.
Главное сохранять количество цифр в получившейся дроби.
$0,007*0,00007*700=0,001*7*0,00001*7*7*100$.

2. Дальше, нам потребуются знания и умение возводить числа в целую степень.
Если нам задана дробь, в которой все нули и заканчивается она единицей, то ее всегда можно представить в виде числа 10 в отрицательной степени. Причем количество нулей, стоящее перед единицей, будет степенью десятки. Давайте подробно рассмотрим числа в нашем примере. $0,001=10^{-3}$, перед единицей стоит три нуля, значит тройка и будет степенью десятки, только не надо забыть поставить минус.
$0,00001=10^{-5}$, перед единицей стоит пять нулей, значит пятерка и будет степенью десятки.

После преобразований получаем: $0,001*7*0,00001*7*7*100=10^{-3}*7*10^{-5}*7*7*100$.

3. Нам осталось только преобразовать число 100 в виде числа в степени. Если в числе на первом месте стоит единица, а все остальные цифры нули, то любое такое число можно представить в виде степени числа 10, причем степень десятки будет совпадать с количеством нулей.
Например: $10000=10^4$; $1000000=10^6$.
Получаем: $10^{-3}*7*10^{-5}*7*7*10^2=7*7*7*10^{-3}*10^{-5}*10^2$.
В каком порядке будем умножать полученные числа не имеет значения. При перемножении чисел с целым показателем степени и одинаковым основанием – основание степени остается прежним, а показатели складываются.
$7*7*7*10^{-3}*10^{-5}*10^2=243*{10}^{-3-5+2}=243*10^{-6}$.

4. Осталось выполнить операцию, обратную пункту два. В степени десятки у нас стоит -6, значит, число будет дробное, так как минус - в нашем числе будет шесть нулей.
$243*10^{-6}=243*0,000001=0,000243$.

Еще раз распишем решение: $0,007*0,00007*700=0,001*7*0,00001*7*7*100=10^{-3}*7*10^{-5}*7*7*10^2=$ $=7*7*7*10^{-3}*10^{-5}*10^2=243*10^{-3-5+2}=243*10^{-6}=243*0,000001=0,000243$.
Ответ: $0,000243$.

Пример 3.
Найти значение выражения: $6,3*1,8-3,6*2,1$.

Решение.
Данный пример можно решить "в лоб", если вы хорошо умеет умножать дробные числа столбиком. Считать "в лоб" мы данный пример не будем, но приведем два других способа решения.

Способ 1. Если у вас не очень хорошо получается умножать дробные числа столбиком, тогда можно умножить исходное выражение на сто, но главное, потом не забыть опять же поделить на сто.
$\frac{(6,3*1,8-3,6*2,1)*100}{100}=\frac{63*18-36*21}{100}=\frac{1134-756}{100}=\frac{378}{100}$.
Поделим получившиеся число на 100, что довольно таки легко, так как у нас два нуля, то запятая дробного числа сместится на 2 цифры справа налево.
$\frac{378}{100}=3,78$.

Способ 2. Можно заметить, что исходные числа имеют одинаковые сомножители, то есть каждое из представленных чисел нужно представить в виде произведения целого числа и дроби.
$6,3=7*0,9$.
$1,8=6*0,3$.
$3,6=6*0,6$.
$2,1=7*0,3$.
$6,3*1,8-3,6*2,1=7*0,9*6*0,3-6*0,6*7*0,3=42*0,27-42*0,18=$ $=4*(0,27-0,18)=42*0,09=\frac{42*9}{100}=\frac{378}{100}=3,78$.
Выбор способа решения зависит только от ваших предпочтений.

Пример 4.
Запишите номера верных равенств:
1) $2*\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$.
2) $\frac{ \frac{11}{14}}{3\frac{1}{7}}=0,25$.
3) $1,75-2\frac{1}{3}=-\frac{7}{12}$.
4) $\frac{1,6}{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}}=4$.

Решение.
Нам ничего не остается, как проверить каждое выражение.

1) В этом примере надо помнить, что умножить целое число на дробь - это не одно и то же, что дробь, в которой выделена целая часть. Решим данный пример.
$2*\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{2}{1}*\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{2*4}{3*4}-\frac{1*3}{4*3}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$.
Получили, что представленное равенство не верно.

2) Прежде всего надо избавиться от целой части, а потом воспользоваться правилом деления дробей. $\frac{\frac{11}{14}}{3\frac{1}{7}}=\frac{\frac{11}{14}}{\frac{3*7+1}{7}}=\frac{\frac{11}{14}}{\frac{22}{7}}=\frac{11}{14}*\frac{7}{22}$.
Теперь мы можем воспользоваться правилом сокращения дробей.
$\frac{11}{14}*\frac{7}{22}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
Осталось только перевести полученную дробь в десятичную.
$\frac{1}{4}=0,25$.
Получили верное равенство.

3) В данном примере, для начала, нам надо перевести десятичную дробь в обычную. $1,75=1 \frac{75}{100}=1\frac{3}{4}$.
Теперь избавимся от целой части и получим неправильную дробь: $1\frac{3}{4}-2\frac{1}{3}=\frac{7}{4}-\frac{7}{3}$.
Выполним вычитание двух дробей: $\frac{7}{4}-\frac{7}{3}=\frac{21}{12}-\frac{28}{12}=-\frac{7}{12}$.
Получили верное равенство.

Запишем еще раз решение:
$1,75-2\frac{1}{3}=1\frac{3}{4}-2\frac{1}{3}=\frac{7}{4}-\frac{7}{3}=\frac{21}{12}-\frac{28}{12}=-\frac{7}{12}$.

4) Опять же перейдем от десятичной дроби к обычной.
$1,6=1\frac{6}{10}=\frac{16}{10}$.
Мы хорошо помним, что первое действие выполняется в скобках.
$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}=\frac{2}{3}*\frac{6}{5}=\frac{2}{1}*\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$.
Выполним деление за скобками: $\frac{\frac{16}{10}}{\frac{4}{5}}=\frac{16}{10}*\frac{5}{4}=\frac{4}{2}*\frac{1}{1}=2$.
Получили, что исходное равенство неверное.
Ответ: 23.

Пример 5.
Найдите значение выражений. В ответ укажите наибольшее из найденных значений.
1) $1,8-\frac{3}{5}$.
2) $\frac{1\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}$.
3) $\frac{0,8+0,3}{1,2}$.
Решение.

1) Перейдем к десятичной дроби.
$1,8-\frac{3}{5}=1,8-0,6=1,2$.

2) Перейдем к неправильной дроби и выполним деление дробей. $\frac{1\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{4}{3}*\frac{6}{1}=\frac{4}{1}*2=8$.

3) Выполним сложение в числители дроби. $\frac{0,8+0,3}{1,2}=\frac{1,1}{1,2}=\frac{1,1*10}{1,2*0}=\frac{11}{12}$.
Осталось выбрать наибольшее решение, очевидно, что это будет 8.
Ответ: 8.

Александр Шабалин




Помогаем друг другу решать задачи, контрольные и примеры на школьном математическом форуме.


Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

ОГЭ (ГИА) задание 1 по математике