МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Алгебра – ОГЭ. Задания с решением

Разбор задания №4 на тему: "Решение уравнений различного типа"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Контрольные работы по алгебре для 9 класса    Уроки по алгебре для 9 класса

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Интерактивное пособие "Правила и упражнения по алгебре" для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие для 9 класса "Алгебра за 10 минут"



Задание №4 требует умение решать уравнения различного типа. Ребята, вы должны хорошо усвоить методы правильного решения квадратных уравнений, дробно-рациональных уравнений, обычных линейных уравнений. Также вы должны хорошо уметь производить действия с многочленами: умножение и деление многочлена на многочлен. Вам понадобиться умение выбирать корни уравнения, которые входят в область решения и определять, какие корни надо выбросить и не учитывать?

Уроки которые помогут вам при подготовке данного задания:


1.Основные определения и примеры решений линейных функций.
2. Понятие и стандартный вид одночлена.
3. Многочлен, стандартный вид, приведение, преобразование.
4. Примеры на числовые выражения. Алгебраические выражения с переменными и действия с ними.
5. Уравнения, примеры решения уравнений.
6. Квадратные уравнения. Урок в разработке.
7. Дробно-рациональные уравнения. Урок в разработке.
8. Корень квадратный. Урок в разработке.

Перейдем к разбору примеров решения.

Пример 1.
Найдите корни уравнения: $16x^2-1=0$.

Решение.
Заметим, нам дано квадратное уравнение, но не полное. Коэффициент при х равен нулю. Тогда будем руководствоваться правилом: "те выражения, в которых есть х в квадрате, оставим слева, а все числа перенесем на право".
Преобразуем наше выражение: $16x^2=1$.

Разделим обе части уравнения на коэффициент при х квадрат: $x^2=\frac{1}{16}$.

Для решения данного уравнения, нам понадобятся знания корня квадратного. Извлечем корень, не забывая о том, что отрицательное число мы должны тоже учитывать: $x=±\sqrt{\frac{1}{16}}=±\frac{1}{4}=±0,25$.
Ответ: $x=±0,25$.

Пример 2.
Решите уравнение: $x^2=18-7x$.

Решение.
Перенесем все выражения в левую часть уравнения: $x^2+7x-18=0$.

Обычное квадратное уравнение мы можем решить двумя способами:
1. "в лоб", вычисляя дискриминант;
2. используя теорему Виетта.

1 способ.
Выпишем все коэффициенты при квадратном уравнении: $a=1$, $b=7$, $c=-18$.

Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$.
Получили, что уравнение имеет 2 корня.
Нам осталось найти эти корни:
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7+11}{2}=2$.
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7-11}{2}=-9$.

2 способ.
Воспользуемся теоремой Виетта. Теорема Виетта часто упрощает решение квадратных уравнений во много раз, особенно когда коэффициент $а=1$. В этом случае произведение корней уравнения равно коэффициенту $с$, и сумма корней уравнения равна минус коэффициенту при $b$:
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.
$x_1*x_2=\frac{c}{a}$.

В нашем примере $с=-18$ и $b=7$. Начинаем перебирать пары чисел, произведение которых равно минус восемнадцать. Первые числа приходящие на ум - девятка и двойка. Произведя несколько простых перемножений и сложений можно убедиться, что нам подходят корни $х=-9$ и $х=2$.
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac{c}{a}$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac{b}{a}$.
Ответ: $x=-9$, $x=2$.

Пример 3.
Решить уравнение: $x-\frac{x}{7}=\frac{15}{7}$.

Решение.
Нам дано обычное линейное уравнение с дробными коэффициентами. Для решения этого уравнения нужно правильно действовать с обычными дробями.
Первым действием преобразуем левую часть уравнения, упростив ее: $x-\frac{x}{7}=\frac{7x}{7}-\frac{x}{7}=\frac{6x}{7}$.
Получили уравнение: $\frac{6x}{7}=\frac{15}{7}$.
Разделим правую часть уравнения на коэффициент при х: $x=\frac{\frac{15}{7}}{\frac{6}{7}}$.

Рассмотрим отдельно деление: $\frac{\frac{15}{7}}{\frac{6}{7}}=\frac{15}{7}*\frac{7}{6}=\frac{15}{6}=2\frac{3}{6}=2\frac{1}{2}=2,5$.

Получили: $x=2,5$.
Ответ: $x=2,5$.

Пример 4.
Решите уравнение: $(x+2)^2=(x-4)^2$.

Решение.
Способ 1.
Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
Получили: $x^2+4x+4=x^2-8x+16$.
Упростим наше уравнение:
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
$12x=12$.
$x=1$.

Способ 2.
При решении данного уравнения мы можем воспользоваться формулой разности квадратов. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$(2x-2)*(6)=0$.
$2x-2=0$.
$2x=2$.
$x=1$.
Ответ: $х=1$.

Пример 5.
Решить уравнение: $\frac{9}{x-14}=\frac{14}{x-9}$.

Решение.
Нам представлено дробно-рациональное уравнение. При решении данных уравнений стоит помнить о том, что делить на нуль нельзя. Поэтому корни уравнения стоит проверять всегда, подстановкой их в знаменатель исходного уравнения.
Воспользуемся правилом умножения крест на крест: $9(x-9)=14(x-14)$.
Получили линейное уравнение:
$9x-81=14x-196$.
$9x-14x=-196+81$.
$-5x=-115$.
$x=23$.
Проверив наш корень, убеждаемся, что знаменатели дробей исходного уравнения не обращаются в нуль.
Ответ: $x=23$.

Пример 6.
Найдите решения удовлетворяющие системе: $\begin {cases} x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end {cases}$.

Решение.
Сначала решим квадратное уравнение, воспользовавшись теоремой Виетта. Произведение наших корней равно $22$, а сумма равна $-9$.
Подберем корни:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Получили два корня: $x_1=-11$ и $x_2=2$. Из этих корней неравенству $x≤1$ удовлетворяет первый корень, он и будет ответом.
Ответ: $х=-11$.

Пример 7.
Решите уравнение: $23x-60-x^2=0$.
В ответе укажите модуль разности корней.

Решение.
Умножим исходное уравнение на $-1$: $x^2-23x+60=0$.
В такой форме уравнение смотрится гораздо привычнее.
Воспользуемся теоремой Виетта и представим наше уравнение, как произведение двухчленов:
$(x-20)(x-3)=0$.
Получили два корня $x_1=20$ и $x_2=3$.
Найдем модуль разности: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$.
Ответ: 17.

Пример 8.
Сколько корней имеет уравнение $x^6-x^2=0?$

Решение.
Вынесем за скобку наименьшую степень: $x^2(x^4-1)=0$.
Теперь воспользуемся формулой разности квадратов:
$x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$.
И еще раз воспользуемся той же формулой:
$x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений: Подготовка к ОГЭ Получили, что у данного уравнения три корня.
Ответ: 3.

Пример 9.
Решите уравнение: $\frac{(x-2)(2x+1)}{2-x}=0$.
Если уравнение имеет больше одного корня, то в ответ запишите больший из них.

Решение.
Исходное уравнение равносильно следующей совокупности: Подготовка к ОГЭ Решим каждое уравнение: Подготовка к ОГЭ Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, одно решение у нас отпадает. Получили один корень уравнения $х=-0,5$.
Ответ: -0,5.

Александр Шабалин




Помогаем друг другу решать задачи, контрольные и примеры на школьном математическом форуме.


Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

ОГЭ (ГИА) задание 4 по математике