МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Алгебра – ОГЭ. Задания с решением

Разбор задания №6 на темы: "Последовательности чисел".
"Арифметическая и геометрическая прогрессии"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Контрольные работы по алгебре для 9 класса    Уроки по алгебре для 9 класса

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Тренажёр к учебнику Атанасяна Л.С.    Тренажёр к учебнику Погорелова А.В.



Задание №6 потребует от вас умения работать с последовательностью чисел. Вы должны уметь вычислять элементы последовательности, стоящие на требуемом месте, и сумму членов последовательности. Также вы должны хорошо разбираться в арифметической и геометрической прогрессиях. Знать все формулы этих прогрессий.

Уроки которые помогут вам при подготовке данного задания:


1.Множества, примеры и обозначения множества и подмножеств.
2. Объединение, пересечение, разность множеств.
3. Арифметическая прогрессия.
4. Геометрическая прогрессия.

Примеры решений заданий.

Пример 1.
Даны пятнадцать чисел, первое из которых равно 6, а каждое следующее больше предыдущего на 4. Найти пятнадцатое из данных чисел.

Решение.
Нам дана некоторая последовательность, первый элемент которой равен 6, а каждый последующий на 4 больше предыдущего.
Ребята, здесь вы можете поступить двумя способами:
1) выписать все элементы, последовательно сложив каждый с каждым;
2) решить задачу математически, руководствуясь формулой.

Способ 1.
Выпишем все члены последовательности до 15 члена:
$6,6+4=10$, $10+4=14$, $18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62$.
Получили 15 член последовательности равен 62.

Способ 2.
Первый член последовательности равен 6, тогда мы можем записать $a_1=6$.
Второй член на 4 больше, тогда $a_2=a_1+4=6+4=10$.
Третий член на 4 больше предыдущего и на 8 больше первого, тогда $a_3=a_2+4=a_1+4+4=a_1+2*4=a_1+(3-1)*4$.
Мы уже можем сделать вывод, что $a_n=a_1+(n-1)*4$.
Найдем 15 член последовательности: $a_{15}=6+14*4=62$.
Ответ: 62.

Пример 2.
Дана арифметическая прогрессия: –6; –4; –2... Найдите сумму первых десяти её членов.

Решение.
Ребята, если вы не помните формул арифметической прогрессии, то вы можете выписать все члены этой прогрессии и сложить их.

Способ 1.
Не трудно заметить, что каждый следующий член прогрессии на 2 больше предыдущего. Выпишем первые 10 членов прогрессии: –6; –4; –2; 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12.
Сложим все 10 чисел. У нас есть противоположные по знаку числа, которые уничтожат друг друга, нам останется сложить: $8+10+12=30$.

Способ 2.
Воспользуемся формулами арифметической прогрессии. Очевидно, что $a_1=-6$. Разность прогрессии – $d=2$.
Тогда, используя формулу суммы:

$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}*n$.
$S_{10}=\frac{2*(-6)+2*9}{2}*10=\frac{-12+18}{2}*10=3*10=30$.
Ответ: 30.

Пример 3.
Арифметическая прогрессия задана условиями: $a_1=0,8$ и $a_{n+1}=a_n+1,2$.
Найдите сумму первых одиннадцати её членов.

Решение.
Наша арифметическая прогрессия задана рекуррентно.
Разность прогрессии $d=1,2$.

$S_{11}=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}*n=\frac{2*0,8+1,2(11-1)}{2}*11=\frac{1,6+12}{2}*11=74,8$.
Ответ: 74,8.

Пример 4.
Дана арифметическая прогрессия $a_{n}$, разность которой равна $−5$,6; $a_{1}=−0,4$.
Найдите $a_{7}$.

Решение.
Для правильного решения это задачи в условии даны все необходимые параметры.
$a_1=−0,4$; $d=-5,6$.
$a_n=a_1+d(n-1)$.
$a_7=a_1+(-5,6)(7-1)=-0,4-5,6*6=-0,4-33,6=-34$.
Ответ: -34.

Пример 5.
Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 5, надо сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 405?

Решение.
Внимательно прочитав условие, можно понять, что нам представлена арифметическая прогрессия с $a_1=5$, $d=1$.
Нам надо, чтобы сумма n чисел этой последовательности было меньше 405, причем n – натуральное число.
Запишем формулу суммы:

$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}*n$.
Нам надо решить неравенство: $S_n<405$ и найти наибольшее n, удовлетворяющее этому неравенству.

$\frac{2a_1+d(n-1)}{2}*n=\frac{2*5+1(n-1)}{2}*n=\frac{9+n}{2}*n=\frac{9n+n^2}{2}$.

$\frac{9n+n^2}{2}<405$.
Нам надо решить квадратное неравенство: $n^2+9n-910<0$.
Решением данного неравенства будет промежуток: $(-35;26)$.
Наибольшее натуральное n, удовлетворяющее нашему неравенству, $n=25$.
Ответ: 25.

Пример 6.
Геометрическая прогрессия $b_n$ задана условиями: $b_1=2\frac{2}{3}$, $b_{n+1}=-3b_n$. Найдите $b_{5}$.

Решение.
Знаменатель нашей прогрессии $q=-3$. Тогда по формуле n-ого члена геометрической прогрессии:
$b_n=b_1*q^{n-1}$.
$b_5=b_1*q^4=2\frac{2}{3}*(-3)^4=\frac{8}{3}*3^4=8*3^3=216$.
Ответ: 216.

Пример 7.
Геометрическая прогрессия задана условием $b_n=-32,5*2^n$. Найдите $b_6$.

Решение.
Подставим прямо в формулу:
$b_6=-32,5*2^6=-32,5*64=-2080$.
Ответ: -2080.

Пример 8.
Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −89 ; −78; −67…
Найдите первый положительный член этой прогрессии.

Решение.
Очевидно: $a_1=-89$, $d=11$.
Для получения ответа надо решить неравенство относительно n:
$a_n=a_1+d(n-1)>0$.
$-89+11(n-1)>0$.
$11n>100$.
$n>9\frac{1}{11}$.
Наименьшее целое n, удовлетворяющее данному неравенству, $n=10$, тогда нам надо найти $a_{10}$.
$a_{10}=-89+11*9=10$.

Способ 2.
Также мы можем выписать все члены последовательности и в ответ записать первый положительный.
−89 ; −78; −67; -56; -45; -34; -23; -12; -1; 10.
Ответ: 10.

Пример 9.
Дана геометрическая прогрессия $b_n$, для которой $b_5=−14$, $b8=112$. Найдите знаменатель прогрессии.

Решение.
Распишем восьмой член геометрической прогрессии через пятый.
$b_8=b_7*q=b_6*q^2=b_5*q^3$.
Тогда $q^3=\frac{b_8}{b_5}=\frac{112}{-14}=-8$.
Очевидно, что $q=-2$.
Ответ: -2.

Пример 10.
Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии на 16 меньше суммы второго, третьего, четвертого и пятого ее членов. Найдите разность этой прогрессии.

Решение.
Из условия задачи следует: $a_1+a_2+a_3+a_4+16=a_2+a_3+a_4+a_5$.
Упростив равенство получаем: $a_5=a_1+16$.
Но $a_5=a_1+4d$.
$a_1+4d=a_1+16$.
$4d=16$.
$d=4$.
Ответ: 4.

Александр Шабалин




Помогаем друг другу решать задачи, контрольные и примеры на школьном математическом форуме.


Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

ОГЭ (ГИА) задание 6 по математике