МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Алгебра – ОГЭ. Задания с решением

Разбор задания №7 на тему: "Операции с многочленами: умножение, сложение, сокращение и др."



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Контрольные работы по алгебре для 9 класса    Уроки по алгебре для 9 класса

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Степени и корни    Функции и графики



Ребята, для успешного решения заданий №7 необходимо умение работать с многочленами: умножать, складывать, сокращать и производить другие операции. Вы должны знать основные формулы суммы и разности квадратов и кубов. Уметь подставлять конкретные значения в многочлен и работать со степенью с целым показателем.

Уроки которые помогут вам при подготовке данного задания:


1.Примеры на числовые выражения. Алгебраические выражения с переменными и действия с ними.
2. Примеры и правила на сложение и вычитание многочленов.
3. Примеры и правила умножение одночлена на многочлен.
4. Многочлен, стандартный вид, приведение, преобразование.
5. Понятие и стандартный вид одночлена.
6. Степенная функция с отрицательным показателем.


Давайте вспомним основные формулы, которые нам помогут:
Квадрат суммы и разности: $(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$.

Разность квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Куб суммы и разности: $(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3$.

Степень с целым показателем: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

При умножении чисел с одинаковым основанием, но разными показателями степени: основание остается прежним, а степени складываются. $a^b*a^c=a^{b+c}$.

При делении чисел с одинаковым основанием, но разным показателем степени: основание остается прежним, а степени вычитаются. $\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$.

При возведении степени в степень: показатели степеней умножаются. $(a^b)^c=a^{b*c}$.

Перейдем к примерам.

Пример 1.
Упростите выражение $8b-\frac{3a+8b^2}{b}$.
Найдите его значение при $a=9$; $b=12$. В ответе запишите полученное число.

Решение.
Если нам представлено несколько выражений и в них есть дробь, то практически во всех случаях первым делом следует найти общий знаменатель.
$8b-\frac{3a+8b^2}{b}=\frac{8b}{1}-\frac{3a+8b^2}{b}=\frac{8b^2-3a-8b^2}{b}=\frac{-3a}{b}$.

Ребята, обратите внимание на то, что если в условие содержится слово упростите, то это точно означает, что выражение сводится к гораздо более простому. Если после нескольких действий ваше выражение не стало проще, то ищите ошибку.
В данном примере нам осталось подставить значения а и b.
$\frac{-3a}{b}=\frac{-3*9}{12}=\frac{-27}{12}=-2,25$.
Ответ: -2,25.

Пример 2.
Упростите выражение $\frac{a^2+5a}{a^2+10a+25}$ и найдите его значение при $a=5$.
В ответе запишите полученное число.

Решение.
Прямой подстановкой получить ответ будет не сложно, но займет много времени. Внимательно посмотрите на выражение – его можно легко упростить. В числителе вынесем общий множитель, а в знаменателе надо вспомнить формулу квадрата суммы.
$\frac{a^2+5a}{a^2+10a+25}=\frac{a(a+5)}{(a+5)^2}=\frac{a}{a+5}$.
Осталось подставить требуемое значение.
$\frac{a}{a+5}=\frac{5}{5+5}=\frac{5}{10}=0,5$.
Ответ: 0,5.

Пример 3.
Упростите выражение $\frac{3c-9}{3d-cd}$ и найдите его значение при $c=0,75$ и $d=6$. В ответе запишите полученное число.

Решение.
Вынесем общие множители:
$\frac{3c-9}{3d-cd}=\frac{3(c-3)}{d(3-c)}=\frac{-3(3-c)}{d(3-c)}=\frac{-3}{d}=\frac{-3}{6}=-0,5$.
Ответ: -0,5

Пример 4.
Упростите выражение $\frac{x^2-25}{9x^3}*\frac{6x^2}{x-5}$ и найдите его значение при $x=4$. В ответе запишите полученное число.

Решение.
Разложим на множители и сократим наше выражение: $\frac{x^2-25}{9x^3}*\frac{6x^2}{x-5}=\frac{(x-5)(x+5)}{3x}*\frac{2}{x-5}=\frac{2(x+5)}{3x}$.

Осталось подставить $х$:
$\frac{2(x+5)}{3x}=\frac{2(4+5)}{3*4}=\frac{9}{3*2}=\frac{3}{2}=1,5$.
Ответ: 1,5.

Пример 5.
Упростите выражение $\frac{a^{-12}*a^6}{a^{-2}}$ и найдите его значение при $a=-\frac{1}{3}$ . В ответе запишите полученное число.

Решение.
Пользуясь правилами работы с выражениями, содержащими целый показатель степени, упростим наше выражение:
$\frac{a^{-12}*a^6}{a^{-2}}=\frac{a^{-12+6}}{a^{-2}}=\frac{a^{-6}}{a^{-2}}=a^{-6+2}=a^{-4}={(-\frac{1}{3})} ^{-4}={(-3)}^4=81$.
Ответ: 81.

Пример 6.
Упростите выражение: $\frac{(2a+b)^2-4a^2}{b}$ и найдите его значение при $a=1,5$ и $b=-4$.

Решение.
Применим формулу квадрата суммы и после приведем подобные члены.
$\frac{(2a+b)^2-4a^2}{b}=\frac{4a^2+4ab+b^2-4a^2}{b}=\frac{b(4a+b)}{b}=4a+b$.
Нам осталось подставить значения a и b: $4a+b=4*1,5-4=6-4=2$.
Ответ: 2.

Пример 7.
Найдите значение выражения: $\frac{\frac{64b^2+128b+64}{b}}{\frac{4}{b}+4}$ при $b=-\frac{15}{16}$.

Решение.
Упростим исходное выражение. Выполним отдельно несколько действий.
1. $64b^2+128b+64=64(b^2+2b+1)=64(b+1)^2$.
2. $\frac{4}{b}+4=\frac{4+4b}{b}=\frac{4(1+b)}{b}$.
3. $\frac{\frac{64(b+1)^2}{b}}{{\frac{4(1+b)}{b}}}=\frac{64(b+1)^2}{b}*{\frac{b}{4(b+1)}}=16(b+1)$.
Подставим значение: $16(b+1)=16(-\frac{15}{16}+1)=16*\frac{1}{16}=1$.
Ответ: 1.

Пример 8.
Сократите дробь $\frac{(2x+5)^2-(2x-5)^2}{2x}$.

Решение.
В тех примерах, в которых предлагается сократить дробь, но при этом нет значения, которое нужно подставить вместо переменной, все переменные должны сократиться. В итоге, останется число.
В данном примере воспользуемся формулой разности квадратов:

$\frac{(2x+5)^2-(2x-5)^2}{2x}=\frac{(2x+5-(2x-5))(2x+5+2x-5)}{2x}=$ $=\frac{(2x+5-2x+5)(4x)}{2}x=\frac{10*4x}{2x}=10*2=20$.
Ответ: 20.

Пример 9.
Найдите значение выражения: $(\frac{a}{b}-\frac{b}{a})*\frac{1}{b-a}$ при $a=2$, $b=\frac{1}{4}$.

Решение.
Выполним действия
$(\frac{a}{b}-\frac{b}{a})*\frac{1}{b-a}=\frac{(a^2-b^2)}{ab}*\frac{1}{b-a}=(\frac{(a-b)(a+b)}{ab})*\frac{1}{-(a-b)}=-\frac{a+b}{ab}$.
Подставим значения:
$-\frac{a+b}{ab}=-\frac{2+\frac{1}{4}}{2*\frac{1}{4}}=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{2}{4}}=-\frac{9}{2}=-4,5$.
Ответ: -4,5.

Пример 10.
Найдите значение выражения: $(a^3-36a)(\frac{1}{a-6}+\frac{1}{a+6})$ при $a=5$.

Решение.
Упростим выражение по действиям:
1. $a^3-36a=a(a^2-36)=a(a-6)(a+6)$.
2. $\frac{1}{a-6}+\frac{1}{a+6}=\frac{a+6+a-6}{(a+6)(a-6)}=\frac{2a}{(a+6)(a-6)}$.
3. $a(a-6)(a+6)*\frac{2a}{(a+6)(a-6)}=a*2a=2a^2$.
Подставим а: $2a^2=2*5^2=50$.
Ответ: 50.

Пример 11.
Найдите значение выражения: $\frac{8ab}{a+8b}*(\frac{a}{8b}-\frac{8b}{a})$ при $a=8\sqrt{3}+7$, $b=\sqrt{3}-3$.

Решение.
Для начала упростим выражение в скобках:
$\frac{a}{8b}-\frac{8b}{a}=\frac{a^2-64b^2}{8ab}=\frac{(a-8b)(a+8b)}{8ab}$.
Вернемся к исходному выражению:
$\frac{8ab}{a+8b}*\frac{(a-8b)(a+8b)}{8ab}=a-8b$.
Подставим требуемые значения:
$a-8b=8\sqrt{3}+7-8(\sqrt{3}-3)=8\sqrt{3}+7-8\sqrt{3}+24=31$.
Ответ: 31.

Александр Шабалин




Помогаем друг другу решать задачи, контрольные и примеры на школьном математическом форуме.


Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

ОГЭ (ГИА) задание 7 по математике