МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Построение графиков функций. Алгебра – 10 класс.

Урок и презентация на тему: "Построение графиков функций. Алгоритм построения и примеры"



Материалы для скачивания для 10 класса
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Построение графиков функций"Adobe Acrobat (PDF)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы"
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.0"




Ребята, мы с вами построили много графиков функций, например, параболы, гиперболы, графики тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали. Мы выбирали точки на оси абсцисс, высчитывали значения ординат нашей функций и плавно соединяли наши ординаты на координатной плоскости. То есть, мы строили график по точкам. При построении многих графиков, точки нужно выбирать обдуманно. Теперь давайте обобщим наши знания и напишем общие правила построения графиков функций.



Что же такое график функции?


График функции – это множество точек, абсциссы которых являются значениями из области определения, а ординаты - значениями функции y= f(x). График любой функций строят по точкам. Но если мы точно не знаем, какой будет вид у графика, то точки надо выбирать обдуманно. Ребята, какие важные точки есть у функций?

Давайте, вспомним их:

а) Стационарные и критические точки. Такие точки мы научились находить при вычислении экстремумов функций. Это точки, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.
б) Точки экстремума. Точки максимума и минимума функций. Точки, возле которых определяется характер монотонности.
в) Точки пересечения графика с осью абсцисс и осью ординат. Значения, в которых функция y= f(x)= 0 – точки пересечения с осью абсцисс. А если вычислить f(0) – то эта точка пересечения с осью ординат.
г) Точки разрыва функций. Эти точки ищутся для не непрерывных функций.



Правило построения графиков функций


Ребята, давайте запишем основные правила построения графиков функций:

  • Если функция y= f(x) непрерывна на всей числовой прямой, то надо найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек, в которых следует подсчитать значение нашей функции.
  • Если функция y= f(x) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с нахождения области определения функции, с указания точек ее разрыва.
  • Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики четной или нечетной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси y или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при x ≥ 0, а затем дорисовать симметричную ветвь.
  • Если График функции то прямая y= b является горизонтальной асимптотой нашего графика функции. Асимптота - это некоторой ориентир для нашей функции. Это то, к чему стремится график функции в точке, но не достигает этого значения.
  • Если f(x)=$\frac{p(x)}{q(x)}$; и при x= a знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то x= a - это вертикальная асимптота.

Несколько правил, упрощающих построение графиков функций:

а) График функции y= f(x) + a получается из графика функции y= f(x) (график y= f(x) заранее известен), путем параллельного переноса графика y= f(x) на а единиц вверх, если а > 0; и на а единиц вниз, если а < 0.

Для примера построим три графика: а) y= x2, б) y= x2 + 2, в) y= x2 - 3.

Графики наших функций получается из графика функции y=x2, путем его параллельного переноса: б) на две единицы вверх, в) на три единицы вниз.

Графики наших функций:

График функции

б) График функции y= f(x + a) получается из графика функции y= f(x) (график y= f(x) заранее известен). Используем параллельный перенос графика y= f(x) на а единиц влево, если а > 0, и на а единиц вправо, если а < 0.

Для примера построим три графика: а) y= (x - 2)2, б) y= (x + 1)2.

Графики наших функций получается из графика функции y= x2, путем его параллельного переноса: б) на две единицы вправо, в) на одну единицу влево.

Графики наших функций:

График функции

в) Для построения графика функции y= f(-x), следует построить график функции y= f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y= f(-x).

Для примера построим два графика: a) y= x3, б) y= (-x)3.

Графики нашей функций получается из графика функции y=x3, путем отражения относительно оси ординат.

График функции y=x<sup>3</sup>

г) Для построения графика функции y= -f(x) следует построить график функции y=f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Для примера построим два графика: a) y= cos(x), б) y=-cos(x). Графики нашей функций получается из графика функции y= cos(x), путем отражения относительно оси абсцисс.

График функцииy= cos(x)

Ребята, теперь давайте построим графики функций, вид которых заранее не известен. Будем использовать правила, которые мы определили в начале.



Примеры на построение


I. Построить график функции: y= 2x2 + 4x - 5.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞; +∞).
2) Найдем стационарные точки:
y'= 4x + 4,
4x + 4 = 0,
x= -1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Стационарные точки

Точка x= -1 – точка минимума. Найдем значение функции в точке x= -1
y(-1)= 2(-1)2 + 4(-1) - 5= -7.
Итак, наша функция убывает на промежутке =(-∞;-1), x= -1 – точка минимума, функция возрастает на промежутке (-1; +∞).

Вычислим значения функции в паре точек:

Функции

Построим график функции:

График функции

II. Построить график функции: y= 5x3 - 3x5.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞;+∞).
2) Найдем стационарные точки:
y'= 15x2 - 15x4,
y'= 15x2(1 - x2)= 15x2(1 - x)(1 + x),
15x2(1 - x)(1 + x)= 0,
x= 0; ±1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

График функции

Точка x= -1 – точка минимума.
Точка x= 0 – точка перегиба, функция в этой точки так же возрастает, но вогнутость меняется в другую сторону.
Точка x= 1 – точка максимума.

Найдем значение функции в точке x= -1: y(-1)= 5(-1)3 - 3(-1)5= -2.
Найдем значение функции в точке x= 0: y(0)= 5(0)3 - 3(0)5= 0.
Найдем значение функции в точке x= 1: y(1)= 5(1)3 - 3 (1)5= 2

5) Исследуем функцию на четность: y(-x)= 5(-x3) - 3(-x5)= -5x3 + 35= -y(x)
По определению функция нечетная, и график симметричен относительно начало координат.

Итак, функция нечетная.
Наша функция убывает на промежутке равном (-∞;-1).
x= -1 – точка минимума. Функция возрастает на (-1;1).
x= 0 – точка перегиба.
x= 1 – точка максимума. Функция возрастает на (1;+∞).

Вычислим значения функции в паре точек:

Функции

Построим график функции:

График функции

III. Построить график функции: y=$\frac{x^2+4}{x^2-4}$.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞;-2)U(-2;2)U(2;+∞).

2) Исследуем функцию на четность: y(-x)= $\frac{(-x)^2+4}{(-x)^2-4}=\frac{x^2+4}{x^2-4}$= y(x)

По определению функция четная. Значит, график функции симметричен относительно оси ординат, можно сначала построить график функции для x ≥ 0. 3) Прямая x= 2 – вертикальная асимптота, т.к. знаменатель нашей функции в этой точке обращается в нуль.

Найдем горизонтальную асимптоту:

Функции

Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

4) Найдем стационарные и критические точки: График функции Критических точек у нашей функции нет, т.к. производная определена всюду на области определения нашей функции.
5) Определим вид стационарной точки и характер монотонности: График функции Точка x= 0 – точка максимума.

Итак, наша функция четная. Она возрастает на промежутке равном (-∞;0), x= 0 – точка максимума. Функция убывает на (0;+∞).
Прямая x= 2 – вертикальная асимптота. Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

Вычислим значения функции в паре точек:

График функции

Т.к. функция четная построим сначала график для x ≥ 0.

График функции

Используя свойство четных функций, отразим график функции относительно оси ординат.

График функции

Задачи на построение графиков функций для самостоятельного решения


1) Построить график функции: $y= (-x)^2 + 4x - 7$.
2) Построить график функции: $y=x^3 - 3x + 2$.
3) Построить график функции: $y= \frac{(2x+1)}{(x^2+2)}$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Свойства и графики тригонометрических функций