МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Корни квадратного уравнения. Алгебра – 8 класс

Урок и презентация на тему:
"Еще одна формула корней квадратного уравнения"




Материалы по алгебре для 8 класса
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.



Презентация на тему: "Еще одна формула корней квадратного уравнения"
PowerPoint (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Интерактивное пособие для 8 класса "Правила и упражнения по алгебре"
Мультимедийное учебное пособие для 8 класса "Алгебра за 10 минут"



Вычисление корней квадратного уравнения - повторение.


Ребята, сегодня мы изучим еще одну формулу корней.
Мы хорошо знаем, что корни квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ вычисляются по формуле:
$x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Оказывается, если $b$ – четное число, то данную формулу можно упростить.
Так как $b$ – четное число, то его можно представить в виде $b=2k$, где $k$ – целое число.
Подставим в формулу корней: $x_{1,2}=\frac{-2k±\sqrt{(2k)^2-4ac}}{2a}=\frac{-2k±\sqrt{4k^2-4ac}}{2a}=\frac{-2k±\sqrt{4(k^2-ac)}}{2a}=\frac{-2k±2\sqrt{k^2-ac}}{2a}=$ $=\frac{2(-k±\sqrt{k^2-ac}}{2a}=\frac{-k±\sqrt{k^2-ac}}{a}$.
Мы получили, что корнями уравнения $ax^2+2kx+c=0$ является пара чисел: $x_{1,2}=\frac{-k±\sqrt{k^2-ac}}{a}$.

На первой взгляд, преимущества данной формулы не так и очевидны. На самом деле при вычислении с ее помощью используются числа поменьше по сравнению с первой формулой, под знаком корня квадратного нам не надо умножать на 4, в знаменателе мы делим только на коэффициент $а$.
Очень удобно использовать полученную формулу при равенстве старшего коэффициента единице.
Для уравнения $x^2+2kx+c=0$ корнями будут служить пара чисел: $x_{1,2}=-k±\sqrt{k^2-ac}$.

Разные формулы корней квадратного уравнения


Давайте сравним применение разных формул корней квадратного уравнения на конкретном примере.

Пример 1.
Решить уравнение: $x^2+34x+280=0$.

Решение.
Способ 1.
Решим данное уравнение формулой, которой уже использовали ранее:
$x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-34±\sqrt{{34}^2-4*280}}{2}=\frac{-34±\sqrt{1156-1120}}{2} =\frac{-34±\sqrt{36}}{2}=\frac{-34±6}{2}=-20; -14$.

Способ 2.
Решим с помощью формулы полученной на данном уроке: $x_{1,2}=\frac{-k±\sqrt{k^2-ac}}{a}=\frac{-17±\sqrt{17^2-280}}{1}=-17±\sqrt{289-280} =-17±\sqrt{9}=-17±3=-20; -14$.

Ребята, согласитесь, вторым способом найти решение оказалось гораздо проще. У данного способа только один недостаток, и заключается он в том, что в случае нечетного коэффициента $b$, этот способ не применим.

Пример 2.
Решите уравнение: $\frac{x+3}{x-3}=\frac{2x+3}{x}$.

Решение.
Нам требуется решить обычное рациональное уравнение. Будем действовать по алгоритму. $\frac{x+3}{x-3}-\frac{2x+3}{x}=0$.
$\frac{x(x+3)}{x(x-3)}-\frac{(2x+3)(x-3)}{x(x-3)}=0$.
$\frac{x^2+3x-2x^2+6x-3x+9}{x(x-3)}=0$.
$\frac{-x^2+6x+9}{x(x-3)}=0$.
$-x^2+6x+9=0$.
$x^2-6x-9=0$.
$x_{1,2}=\frac{-k±\sqrt{k^2-ac}}{a}=3±\sqrt{9-(-9)}=3±3\sqrt{2}$.
Не забываем проверить знаменатель $x(x-3)≠0=>x≠0 x≠3$.
Корни числителя и знаменателя не совпали.
Ответ: $x_{1,2}=3±3\sqrt{2}$.

Пример 3.
Решите уравнение: $x^2+6\sqrt{2}x+18=0$.

Решение.
Воспользуемся формулой полученной выше.
$x_{1,2}=\frac{-k±\sqrt{k^2-ac}}{a}=\frac{-3\sqrt{2}±\sqrt{{(3\sqrt{2}})^2-18}}{1}=-3\sqrt{2}±\sqrt{18-18}=-3\sqrt{2}$.
Ответ: $x=-3\sqrt{2}$.


Пример 4.
Решите уравнение с параметром: $x^2-2px+p^2-1=0$.

Решение.
Посмотрим, как будет изменяться решение нашего уравнения при различных значениях параметра $p$.
$x_{1,2}=\frac{p±\sqrt{p^2-(p^2-1)}}{1}=p±\sqrt{p^2-p^2+1}=p±1$.
Оказалось, что при любом $p$ уравнение всегда имеет два корня.
Ответ: $x_{1,2}=p±1$.

Задачи для самостоятельного решения


Решите уравнения:
1. $x^2+48x+176=0$.
2. $\frac{x+5}{x-4}=\frac{x-2}{2x}$.
3. $x^2-8\sqrt{2} x+24=0$.
4. $px^2-4x+p^2-4=0$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

8 класс, урок: "Формулы корней квадратного уравнения"