МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Функция квадратного корня

Урок и презентация по алгебре в 8 классе на тему:
"График функции квадратного корня, область определения и построение его графика."



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Функция корня квадратного"  PowerPoint (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Электронное учебное пособие к учебнику Мордковича А.Г.
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 8 класса



График функции квадратного корня


Ребята, с построением графиков функций мы с вами уже встречались, и не раз. Мы строили множества линейных функций и парабол. В общем виде любую функцию удобно записать, как $y=f(x)$. Это уравнение с двумя переменными – для каждого значения x мы получаем y. Выполнив некоторую заданную операцию f, мы отображаем множество всех возможных x на множество y. В качестве функции f мы можем записывать практически любую математическую операцию.

Обычно при построении графиков функций мы пользуемся таблицей, в которой записываем значения х и у. Например, для функции $y=5x^2$ удобно использовать следующую таблицу: Функция корня квадратного Отметим полученные точки на декартовой системе координат и аккуратно соединим их гладкой кривой. Наша функция не ограничена. Только этими точками мы можем подставить совершенно любое значение х из заданной области определения, то есть тех х, при которых выражение имеет смысл.

На одном из прошлых уроков мы изучили новую операцию извлечения корня квадратного. Возникает вопрос, а можем ли мы, используя эту операцию, задать какую-нибудь функцию и построить ее график? Воспользуемся общим видом функции $y=f(x)$. y и х оставим на своем месте, а вместо f введем операцию корня квадратного: $y=\sqrt{x}$.
Зная математическую операцию, мы смогли задать функцию.


Построение графика функции квадратного корня


Давайте построим график этой функции. Исходя из определения корня квадратного, мы можем вычислять его только из неотрицательных чисел, то есть $x≥0$.
Составим таблицу: Функция корня квадратного - построение
Отметим наши точки на координатной плоскости. Функция корня квадратного, отмечаем точки
Нам осталось аккуратно соединить полученные точки. Функция корня квадратного
Ребята, обратите внимание: если график нашей функции повернуть на бок, то получится левая ветка параболы. На самом деле, если строчки в таблице значений поменять местами (верхнюю строчку с нижней), то у нас получаться значения, как раз для параболы.


Область определения функции $y=\sqrt{x}$


Используя график функции, свойства описать довольно таки просто.
1. Область определения: $[0;+∞)$.
2. $у=0$ при $х=0$, $у>0$ при $х>0$.
3. Чем больше х, тем больше у. Значит наша функция возрастает, то есть мы движемся, как будто "в горку". Функция возрастает на всей области определения.
4. Из графика хорошо видно, что наименьшее значение функции равно 0 при $х=0$. Наибольшего значения нет, функция постоянно растет.
5. Непрерывная функция. Мы не видим ни каких точек разрыва, везде проходит сплошная линия.

Принято выделять еще одно свойство.
Выпуклость. Принято считать, что функции выпуклы либо вверх, либо вниз. Посмотрев на наш график, заметно, что функция как бы выпячивается вверх.
6. Выпукла вверх.

Те значения, которые может принимать y называются "множеством значением функции". Их также удобно находить по графику. Смотрим область изменения функции по оси ординат. Как изменяется функция: вверх или вниз?
7. Область значений: $[0;+∞)$.

Примеры решения функции квадратного корня


Пример 1.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции корня квадратного на отрезке:
а) $[4;9]$.
б) $[2;11]$.

Решение.
Мы можем решить наш пример двумя способами. В каждой букве опишем разные способы.

а) Вернемся к графику функции, построенному выше, и отметим требуемые точки отрезка. Хорошо видно, что при $х=9$ функция больше всех остальных значений. Значит и наибольшее значение она достигает в этой точке. При $х=4$ значение функции ниже всех остальных точек, а значит, тут и есть наименьшее значение.

$y_{наиб}=\sqrt{9}=3$, $y_{наим}=\sqrt{4}=2$.



б) Мы знаем, что наша функция возрастающая. Значит, каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Наибольшее и наименьшее значение достигаются на концах отрезка:

$y_{наиб}=\sqrt{11}$, $y_{наим}=\sqrt{2}$.


Пример 2.
Решить уравнение:

$\sqrt{x}=12-x$.


Решение.
Проще всего построить два графика функции и найти их точку пересечения. Функция уравнения корня квадратного
На графике хорошо видна точка пересечения с координатами $(9;3)$. А значит, $х=9$ – решение нашего уравнения.
Ответ: $х=9$.

Ребята, а можем ли мы быть уверены, что больше решений у этого примера нет? Одна из функций возрастает, другая – убывает. В общем случае, они либо не имеют общих точек, либо пересекаются только в одной.

Пример 3.


Построить и прочитать график функции:

$\begin {cases} -x, x<0, \\ \sqrt{x}, 0≤x≤9 \\ 12-x, x>9. \end {cases}$


Нам нужно построить три частных графика функции, каждый на своем промежутке. Построить график функции
Опишем свойства нашей функции:
1. Область определения: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ при $х=0$ и $х=12$; $у>0$ при $хϵ(-∞;12)$; $y<0$ при $хϵ(12;+∞)$.
3. Функция убывает на отрезках $(-∞;0)U(9;+∞)$. Функция возрастает на отрезке $(0;9)$.
4. Функция непрерывна на всей области определения.
5. Наибольшего и наименьшего значения нет.
6. Область значений: $(-∞;+∞)$.

Задачи для самостоятельного решения


1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции корня квадратного на отрезке:
а) $[25;64]$;
б) $[3;7]$.
2. Решить уравнение: $\sqrt{x}=30-x$.
3. Построить и прочитать график функции: $\begin {cases} 2-x, x<1, \\ \sqrt{x}, 1≤x≤4 \\ 10-2x, x>4. \end {cases}$
4. Построить и прочитать график функции: $y=\sqrt{-x}$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Функция квадратного корня и его график функции, область определения, урок по алгебре в 8 классе