МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Гипербола. Алгебра – 8 класс. Уроки

Презентация и урок по алгебре на тему:
"Гипербола, определение, свойство функции"



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Гипербола, определение, свойство функции"
PowerPoint (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Электронные учебные таблицы по геометрии. 7-9 классы
Электронные учебные таблицы по алгебре. 7-9 классы"



Гипербола, определение


Ребята, сегодня мы с вами изучим новую функцию и построим ее график.
Рассмотрим функцию: $y=\frac{k}{x}$, $k≠0$.
Коэффициент $k$ – может принимать любые действительные значения, кроме нуля. Для простоты начнем разбор функции со случая, когда $k=1$.
Построим график функции: $y=\frac{1}{x}$.
Как всегда начнем с построения таблицы. Правда в этот раз придется разделить нашу таблицу на две части. Рассмотрим случай, когда $x>0$.
Гипербола и её свойства Нам нужно отметить шесть точек с координатами $(x;y)$, которые приведены в таблице и соединить их линией. Гипербола и её свойства
Теперь посмотрим, что у нас получается при отрицательных х. Гипербола и её свойства Поступим тем же образом, отметим точки и соединим их линией. Гипербола и её свойства Два кусочка графика мы построили, давайте объединим их.

График функции $y=\frac{1}{x}$.
Гипербола и её свойства График такой функции называется "Гиперболой".


Свойства гиперболы


Согласитесь, график выглядит довольно-таки красиво, и он симметричен относительно начала координат. Если провести любую прямую, проходящую через начало координат, из первой в третью четверть, то она пересечет наш график в двух точках, которые будут одинаково отдалены от начала координат.
Гипербола состоит из двух, симметричных относительно начала координат, частей. Эти части называются, ветвями гиперболы.
Ветви гиперболы в одном направлении (влево и вправо) все больше и больше стремятся к оси абсцисс, но никогда не пересекут ее. В другом направлении (вверх и вниз) стремятся к оси ординат, но также никогда не пересекут ее (так как на ноль делить нельзя). В таких случаях, соответствующие линии называются асимптотами. График гиперболы имеет две асимптоты: ось х и ось у.

У гиперболы есть не только центр симметрии, но и ось симметрии. Ребята, проведите прямую $y=x$ и посмотрите, как разделился наш график. Можно заметить, что если часть, которая расположена выше прямой $y=x$, наложить на часть, которая располагается ниже, то они совпадут, это и означает симметричность относительно прямой.

Мы построили график функции $y=\frac{1}{x}$, но что будет в общем случае $y=\frac{k}{x}$, $k>0$.
Графики практически не будут отличаться. Будет получаться гипербола с теми же ветвями, только чем больше $k$, тем дальше будут удалены ветви от начала координат, а чем меньше $k$, тем ближе подходить к началу координат.

Например, график функции $y=\frac{10}{x}$ выглядит следующим образом. Гипербола и её свойства График стал "шире", отдалился от начала координат.
А как быть в случае отрицательных $k$? График функции $y=-f(x)$ симметричен графику $y=f(x)$ относительно оси абсцисс, нужно перевернуть его "вверх ногами".
Давайте воспользуемся этим свойством и построим график функции $y=-\frac{1}{x}$.
Гипербола и её свойства
Обобщим полученные знания.
Графиком функции $y=\frac{k}{x}$, $k≠0$ является гипербола, расположенная в первой и третье (второй и четвертой) координатных четвертях, при $k>0$ ($k<0$). Он симметричен относительно начала координат и оси координат – асимптоты гиперболы.


Свойства функции $y=\frac{k}{x}$, $k>0$


1. Область определения: все числа, кроме $х=0$.
2. $y>0$ при $x>0$, и $y<0$ при $x<0$.
3. Функция убывает на промежутках $(-∞;0)$ и $(0;+∞)$.
4. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
5. Наибольшего и наименьшего значений нет.
6. Функция непрерывна на промежутках $(-∞;0)U(0;+∞)$ и имеет разрыв в точке $х=0$.
7. Область значений: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

Свойства функции $y=\frac{k}{x}$, $k<0$


1. Область определения: все числа кроме $х=0$.
2. $y>0$ при $x<0$, и $y<0$ при $x>0$.
3. Функция возрастает на промежутках $(-∞;0)$ и $(0;+∞)$.
4. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
5. Наибольшего и наименьшего значений нет.
6. Функция непрерывна на промежутках $(-∞;0)U(0;+∞)$ и имеет разрыв в точке $х=0$.
7. Область значений: $(-∞;0)U(0;+∞)$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Гипербола и ее свойства, урок по алгебре в 8 классе, презентация