МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Иррациональные уравнения. Алгебра – 8 класс. Уроки

Презентация и урок на тему: "Методы решение иррациональных уравнений, примеры решения."



Материалы для скачивания для 8 класса
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Иррациональные уравнения"
PowerPoint (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Комбинаторика и теория вероятностей    Уравнения и неравенства



Иррациональные уравнения


Ребята, не так давно мы с вами изучили новое множество чисел - иррациональные числа. Мы договорились называть любое число, содержащее корень квадратный, иррациональным. Так вот, уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня квадратного, тоже называются иррациональными уравнениями. Такие уравнения возникли не из-за того, что математикам захотелось решать подобные уравнения. Существует множество реальных ситуаций, в которых вычисление каких-либо характеристик сводится к решению иррациональных уравнений. Например, при вычислении длины гипотенузы прямоугольного треугольника (по теореме Пифагора) вполне может получиться иррациональное уравнение. Давайте научимся решать простейшие иррациональные уравнения.

Рассмотрим уравнение: $\sqrt{2x-4}=4$.
Согласно определению корня квадратного, это выражение можно представить, как $2x-4=16$.
Нам удалось перейти от иррационального уравнения к обычному линейному уравнению, которое решается очень просто. Его корнем является число $x=10$.

Мы возвели обе части уравнения в квадрат и получили более простое уравнение. Такой способ называется "методом возведения в квадрат". Данный метод решения очень прост, но к сожалению иногда могут возникнуть некоторые проблемы при решении уравнений этим методом.

Рассмотрим уравнение: $\sqrt{2x+10}=\sqrt{x-5}$.
Возведем в квадрат обе части уравнения.
$2x+10=x-5$.
$x=-15$.
Но к сожалению, данное число не является решение исходного иррационального уравнения. Давайте подставим -15 в исходное уравнение: $\sqrt{-20}=\sqrt{-20}$.
Ребята, мы умеем вычислять корни квадратные только из положительных чисел. В данном случае выражение не имеет смысла, но тогда $x=-15$ не является корнем нашего уравнения. В таких случаях принято говорить, что получен посторонний корень. Рассмотренное нами иррациональное уравнение не имеет корней.

В случае иррациональных уравнений всегда проверяйте полученные корни!

Решим еще одно иррациональное уравнение: $\sqrt{2x^2+4x-23}=x+1$.
Воспользуемся методом возведения в квадрат.
$2x^2+4x-23=(x+1)^2$.
$2x^2+4x-23=x^2+2x+1$.
$x^2+2x-24=0$.
Воспользуемся теоремой Виета и получим корни данного уравнения: $х=4$ и $х=-6$.
Выполним проверку.
$\sqrt{2{(4)}^2+4*4-23}=4+1$, т.е. $\sqrt{25}=5$ – верно.
$\sqrt{2(-6)^2+4*(-6)-23}=-6+1$, т.е. $\sqrt{25}=-5$ – не верно.
У нас получилось, что подходит только один корень. Мы убедились в том, что проверку корней необходимо проводить всегда!
Таким образом, для решения иррационального уравнения методом возведения в квадрат, необходимо возвести обе части уравнения в квадрат, решить полученное рациональное уравнение, проверить корни подстановкой в исходное уравнение.

Примеры решения иррациональных уравнений
Пример 1.
Решить уравнение: $\sqrt{7-3x}=x+7$.

Решение.
Возведем обе части в квадрат.
$7-3x=x^2+14x+49$.
$x^2+17x+42=0$.
$(x+14)(x+3)=0$.
Получили два корня $х=-14$ и $х=-3$. Давайте выполним проверку полученных корней.
$\sqrt{7-3(-14)}=-14+7$, т.е. $\sqrt{49}=-7$ – не верно.
$\sqrt{7-3(-3)}=-3+7$, т.е. $\sqrt{16}=4$ – верно.
Ответ: $х=-3$.

Пример 2.
Решить уравнение: $\sqrt{x+8}-\sqrt{7x+9}=-1$.

Решение.
Преобразуем уравнение.
$\sqrt{x+8}=\sqrt{7x+9}-1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат.
$x+8=7x+9-2\sqrt{7x+9}+1$.
$6x+2=2\sqrt{7x+9}$.
Воспользуемся еще раз методом возведения в квадрат.
$(6x+2)^2=(2\sqrt{(7x+9})^2$.
$36x^2+24x+4=4(7x+9)$.
$36x^2-4x-32=0$.
$x_{1,2}=\frac{4±\sqrt{4624}}{72}=\frac{4±68}{72}=1; -\frac{8}{9}$.
Осталось выполнить проверку.
$\sqrt{1+8}-\sqrt{7+9}=\sqrt{9}-\sqrt{16}=-1$ – верно.
$\sqrt{-\frac{8}{9}+8}-\sqrt{7(-\frac{8}{9})+9}=\sqrt{\frac{64}{9}}-\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{8}{3}-\frac{5}{3}=1≠-1$ – не верно.
Ответ: $х=1$.

Пример 3.
Решить уравнение: $x-4\sqrt{x}-21=0$.

Решение.
Для решении данного уравнения воспользуемся методом введения новой переменой. Представим $t=\sqrt{x}$, тогда исходное уравнение примет вид:
$t^2-4t-21=0$.
$(t-7)(t+3)=0$.
Введем обратную замену $\sqrt{x}=7$ и $\sqrt{x}=-3$.
Из первого выражения имеем, что $х=49$, а второе не имеет смысла.
Ответ: $х=49$.

Задачи для самостоятельного решения


Решить уравнения:

1. $\sqrt{3-x}=3x+5$.
2. $\sqrt{x-13}-\sqrt{x+8}=-3$.
3. $x+2\sqrt{x}-24=0$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

8 класс, урок: "Иррациональные уравнения, примеры решения", презентация