Квадратный корень, обозначение

Ребята, мы переходим к изучению одного из ключевых понятий в алгебре 8 класса. Корень квадратный, что же это такое?
Давайте графически решим уравнение $x^2=4$. Построим два графика: $y=x^2$ и прямую $y=16$. Посмотрим, в каких точках пересекаются два наших графика?
Хорошо видно, что графики пересекаются в двух точках, при $х=2$ и $х=-2$.

Теперь давайте решим уравнение: $x^2=9$. Способ решения тот же.
Хорошо видны две точки пересечения наших графиков, при $х=3$ и $х=-3$. Не трудно догадаться, что для уравнений $x^2=16$, $x^2=25$ и для других квадратов натуральных чисел решения будут найдены и числа хорошие. Но теперь давайте посмотрим на уравнение $x^2=7$.

В этом примере мы также имеем два решения. Очевидно, что они противоположных знаков, так как они одинаково удалены от нуля. Но, что это за числа? Мы можем сказать точно, что по модулю числа больше двух, но меньше трех. Может быть это рациональное число? Подробнее о рациональных и иррациональных числах можно ознакомится на уроке "Множество рациональных и иррациональных чисел" Наше решение представляет дробь? Но тогда каким способом находить эту дробь? Столкнувшись с такой проблемой математики смогли доказать, что наше решение даже не дробь. Единственным выходом из такой ситуации был ввод нового обозначения и операции.
Был введен новый символ $\sqrt{}$ – корень квадратный.

Решением нашего уравнения $x^2=7$ являются два числа $x_1=\sqrt{7}$ и $x_2=-\sqrt{7}$. Читается, как корень квадратный из семи.

Число $\sqrt{7}$ – это новый "вид" числа, о которых мы узнаем из следующих уроков. Такие числа расширяют множество рациональных чисел до нового множества. Подробнее почитать об этом можно на уроке "Множество действительных чисел".

Теперь для любого уравнения $x^2=a$ мы можем найти два корня $x_1=\sqrt{a}$ и $x_2=-\sqrt{a}$.

Современные калькуляторы позволяют вычислять значения корней квадратных из чисел, но стоит заметить, что даже на калькуляторе получается приближенное значение числа. Попробуйте вычислить корень квадратный из семи, а потом полученное значение умножить на себя, калькулятор уже вам покажет не 7, а число очень близкое к нему.

Определение квадратного корня

Давайте введем строгое определение.
Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа $а$ называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен $а$. Это число обозначается, как $\sqrt{a}$, число $а$, при этом, называется подкоренным.
Если $а≥0$, то:
1) $a≥0$;
2) $(√a )^2=a$.

Любое рациональное число, возведенное в квадрат, дает положительное число. Значит вычислять корень квадратный мы можем только из положительных чисел.
Если $а<0$, то выражение $\sqrt{a}$ не имеет смысла.
Обратим внимание, что корень квадратный положительное число. Хоть $(-5)^2=25$, но исходя из определения, ответ строгий $\sqrt{25}=5$.

Примеры вычисления квадратного корня

Пример.
Вычислить:
а) $\sqrt{49}$.
б) $\sqrt{0}$.
в) $\sqrt{(-4)}$.
г) $\sqrt{\frac{25}{64}}$.
Решение.
а) $7^2=49$ и $7>0$. Значит, $\sqrt{49}=7$.

б) $0^2=0$. Очевидно, что $\sqrt{0}=0$.

в) $\sqrt{-4}$. Вычислять корень квадратный мы можем только из положительных чисел, данная запись не имеет смысла.

г) $\sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8}$, т.к. $\frac{5}{8}>0$ и $(\frac{5}{8})^2=\frac{25}{64}$.
Вычислять корни квадратные небольших чисел довольно просто. При вычислении корней из больших чисел используют специальные таблицы или калькуляторы. Но существуют способы, которые помогают обойтись без калькулятора.

Пример.
Вычислить $\sqrt{3969}$.

Решение.
Найти решение сразу довольно проблематично, но мы знаем, что $60^2=3600$ и $70^2=4900$. Значит, наше число заключено между 60 и 70. Число 3969 заканчивается на 9. При умножении на себя только два числа дают девятку это 3 и 7. Нам достаточно проверить числа 63 и 67. Умножив 63 на себя, можно убедиться, что $63^2=3969$. Итак, $\sqrt{3969}=63$.
Ответ: 63.

Прием, описанный выше, может вам помочь при решении задач из ОГЭ в 9 классе.
Необходимость введения корня квадратного обусловлена некоторыми реальными задачами. Например, при поиске гипотенузы треугольника.
Пусть нам даны длины двух катетов $a=5$ и $b=6$. Тогда используя теорему Пифагора, длина гипотенузы равна сумме квадратов катетов.
$c^2=25+36=61$, что значит $c=\sqrt{61}$.
Для теоремы Пифагора справедлива формула: $c=\sqrt{a^2+b^2}$.
Корень квадратный (и вообще корень любой степени) важная операция в математике, и ввод такой операции не прихоть, а реальная необходимость.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислите:
а) $\sqrt{64}$.
б) $\sqrt{4}$.
в) $\sqrt{-9}$.
г) $\sqrt{\frac{36}{81}}$.
2. Вычислите: $\sqrt{4225}$.