МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Множество действительных чисел

Урок и презентация по алгебре 8 класса на тему: "Множество действительных чисел. Определение, свойства, примеры."



Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация: "Множество действительных чисел"  PowerPoint (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Никольского Н.С.   Пособие к учебнику Алимова Ш.А.



Множество действительных чисел. Определение


Ребята, на уроке: "Множество рациональных и иррациональных чисел" мы с вами познакомились с множеством иррациональных чисел. Если множество рациональных чисел объединить с множеством иррациональных, то получится множество, так сказать, всех чисел. Такое множество называется "множество действительных чисел". Его принято обозначать, как R.
Такое множество содержит абсолютно все числа находящиеся в промежутке $(-∞;+∞)$. На самом деле, существуют и другие множества чисел, но в курсе школьной математики их не проходят. Если вам интересно, то поищите в литературе множество комплексных чисел.
Множество действительных чисел содержит в себе все остальные множества, изучаемые ранее. На прошлом уроке мы показали, что рациональные числа содержат в себе действительные целые и натуральные. Если подойти строго к определению множества действительных чисел, то это числа, которые могут быть как бесконечными десятичными периодическими дробями (что и есть рациональные числа), так и бесконечными десятичными не периодическими дробями.

N⊂ Z. ⊂ Q ⊂ R



Каждое действительное число можно изобразить как точку на координатной прямой. Каждую точку координатной прямой можно сопоставить действительному числу. Иначе говоря, между множеством действительных чисел и координатной прямой установлено взаимно однозначное соответствие. Значит, любое число мы можем отметить на координатной прямой, причем, только единственным образом. Координатную прямую часто называют числовой прямой.
Координатной прямой мы начали пользоваться с ранних классов, но раньше мы отмечали на ней далеко не все точки. Некоторые точки мы даже не знали, как найти.

Нахождение действительного числа на координатной прямой


Давайте рассмотрим такую задачу.
На координатной прямой с началом в точке О лежит гипотенуза ОД прямоугольного треугольника ОДС. Известно, что длины катетов этого треугольника равны 2 и 1. Найдите координату точки С.

Решение.
Прежде всего давайте изобразим наш треугольник. Действительное число
По теореме Пифагора длину гипотенузы ОД найти проблем не составит.

$ОД=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.


Поскольку, точка О – начало координатной прямой, то координата точки Д будет равняться длине отрезка ОД.
Получили координата точки Д равна $\sqrt{5}$.

Если бы нам предложили такую задачку раньше, то решить ее вряд ли удалось. Нас уберегали от таких задач. Всякое решение представлялось целым числом. Теперь то мы знаем гораздо больше. Ребята, представьте, что у обычно прямоугольного треугольника, вроде бы с конечной длиной гипотенузы, эта сама длина гипотенузы выражается бесконечным десятичным числом.

Свойства действительных чисел


Для любых двух действительных чисел выполняются обычные арифметические законы:

$a+b=b+a$.
$ab=ba$.
$a+(b+c)=(a+b)+c$.
$a(bc)=(ab)c$.
$(a+b)c=ac+bc$.

Произведение или частное двух положительных чисел есть положительное число.

Произведение или частное двух отрицательных чисел есть положительное число.

Произведение или частное положительного и отрицательного числа есть отрицательное число.

Действительные числа можно сравнивать друг с другом.

Число а больше числа b, если $a-b>0$.

Число а меньше числа b, если $a-b<0$.

Получается, что всякое положительное число больше нуля (пусть а – положительное число, тогда разность $a-0=a$ – так же положительное число), а всякое отрицательное число меньше нуля (пусть b – отрицательное число, тогда $b-0=b$ – также отрицательное число).

Для действительные чисел существуют следующие строгие утверждения:
$а>0$, значит а – положительное число.
$а<0$, значит а – отрицательное число.
$a>b$, значит $a-b$ – положительное число или $a-b>0$.
$a<b$, значит $a-b$ – отрицательное число или $a-b<0$.

Так же существуют нестрогие утверждения:
Если $а≥0$, то а больше либо равно нуля, то есть а – неотрицательное число или,
что а – не меньше нуля.
Если $а≤0$, то а меньше либо равно нуля, то есть а – неположительное число или,
что а – не больше нуля.
Если $а≥b$, то а больше либо равно b, то есть $а-b$ – неотрицательное число или,
что а не меньше b.
Если $а≤b$, то а меньше либо равно b, то есть $а-b$ – неположительное число или,
что а не больше b.

На числовой прямой также очень легко сравнивать числа. То число которое правее, то и больше. Соответственно, которое левее – меньше.
При сравнении двух чисел можно вычитать одно из другого и смотреть, какое число получилось: положительное или отрицательное?

Пример.
Сравните числа:

а) $\frac{33}{7}$ и $5$.
б) $1+\sqrt{5}$ и $2$.
в) $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$.



Решение.
а) Выполним операцию вычитания:

$\frac{33}{7}-5=\frac{33-35}{7}=\frac{-2}{7}<0 $.
$\frac{33}{7}<5$.

б) $1+\sqrt{5}=1+2,236…=3,236… $.
$3,236…>2$.
$1+\sqrt{5}>2$.



в) Чем больше число, тем больше квадратный корень из этого числа. В нашем случае нам представлены отрицательные числа, значит $-\sqrt{5}$ будет расположен левее от начала координат, чем $-\sqrt{3}$. Соответственно, $-\sqrt{3}>-\sqrt{5}$.

Пример 2.
Расположите в порядке убывания:

$-\sqrt{3}$, $3$, $0$, $2π$, $-1$, $\sqrt{7}$.



Решение.
Вычислим приближенное значение каждого из чисел.

$-\sqrt{3}≈-1,73$.
$2π≈6,28$.
$\sqrt{7}≈2,646$.


Теперь расположить числа в порядке убывания не сложно:

$2π$, $3$, $\sqrt{7}$, $0$, $-1$, $-\sqrt{3}$.



Задачи для самостоятельного решения


1) Сравните числа:

а) $\frac{49}{8}$ и $6$;
б) $2+\sqrt{7}$ и $5$;
в) $-\sqrt{7}$ и $-\sqrt{5}

$.
2) Расположите в порядке возрастания:

$-\sqrt{10}$; $3,33$; $-1$; $\frac{π}{2}$; $2$; $\sqrt{5}$.





Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Множество действительных чисел, урок в 8 классе, презентация