Ребята, давайте вспомним седьмой класс и график функции "Парабола". Как мы помним, уравнение параболы: $y=x^2=1*x^2$.
А что будет, если вместо единицы подставить любое другое действительное число? Давайте рассмотрим две функции: $y=2x^2$ и $y=0,5*x^2$.
Составим таблицу значений для каждой из функций. Начнем с $y=2x^2$.
Для функции $y=0,5*x^2$. Отметив соответствующие точки на координатной плоскости и соединив их линией, получим следующие графики.
Оба графика похожи между собой. Давайте нарисуем их на одной координатной плоскости и найдем сходства и отличия.

Каждый из этих графиков называется параболой. Точка с координатами (0;0) называется вершиной параболой. Ось ОY – ось симметрии параболы. Оба графика направлены вверх или, по-другому говорят, что "рога параболы" смотрят вверх. Графики параболы мы можем описать уравнением: $y=kx^2$.
Но у этих двух графиков есть и отличия. Один – шире другого и стремится вверх медленнее, чем первый. То есть скорости параболы отличаются. Чем больше коэффициент $k$, тем быстрее парабола стремится вверх или тем более узкой она становится (прижимается к оси OY). Чем меньше коэффициент $k$, тем медленнее парабола стремится вверх или тем более широкой становится (отдаляется от оси OY).
В общем случая график параболы $y=kx^2$, $k>0$ строится так же. Для начала можно построить таблицу значений и отметить все точки, после соединив их кривой. Но у всех парабол вершина находится в начале координат, ветви направлены вверх, и ось ординат является осью симметрии параболы.
А что будет, если коэффициент параболы $k<0$? Давайте построим график по точкам и посмотрим, что у нас получится.
$y=-x^2$.


Ребята, посмотрите внимательно на график. У нас получилась такая же парабола, только ветви смотрят вниз. Можно сделать вывод, что при $k<0$ сохраняется все свойства параболы, описанные выше, только ветви смотрят вниз.

Давайте обобщим полученные знания.
Графиком функции $y=kx^2$, где $k$ – любое действительное число, является парабола с вершиной в точке $(0;0)$, ось симметрии – ось ординат, ветви параболы направлены вверх, если $k>0$. Ветви параболы направлены вниз, если $k<0$.

Давайте прочитаем наши графики и опишем основные свойства.
Начнем с графика $y=kx^2$, $k>0$. Для наглядности перенесем сюда один из построенных ранее графиков.

Свойства функции $y=kx^2$, $k>0$
1. Область определения. Мы можем вычислить значение функции в любой точке х. Тогда функция определена при $хϵ(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ при $x=0$, $y>0$ при $x≠0$. Данное свойство очевидно и хорошо видно на графике.
3. Непрерывная функция. График проходит сплошной линией, точек где функция разрывается нет.
4. Наибольшего значения нет. По графику видно, что функция бесконечно уходит вверх.
Наименьшее значение $y=0$ при $х=0$. Чтобы найти наименьшее значение, надо на графике найти самую нижнюю точку. Такой является точка с координатами $(0;0)$.
5. Функция возрастает при $x>0$. Функция убывает при $x<0$.

Давайте посмотрим внимательно на наш график. По нему видно, что функция всегда проходит выше прямой $y=0$. Такое свойство называется "ограниченность снизу".
6. Функция ограничена снизу прямой $y=0$.
Так же бывает и "ограниченность сверху". Если функция всегда проходит ниже некоторой прямой, то она является ограниченной сверху.
7. Область значений функции: $[0;+∞)$.
8. Функция выпукла вниз.

Свойства функции $y=kx^2$, $k<0$.


1. Область определения $хϵ(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ при $x=0$, $y<0$ при $x≠0$.
3. Непрерывная функция.
4. Наименьшего значения нет. Наибольшее значение – $y=0$ при $х=0$.
5. Функция возрастает при $x<0$, функция убывает при $x>0$.
6. Функция ограничена сверху прямой $y=0$.
7. Область значений функции: $(-∞;0]$.
8. Функция выпукла вверх.