Преобразование выражений

Ребята, на этом уроке мы с вами будем заниматься решением задач. В этом году мы уже преобразовывали рациональные выражения, упрощали и доказывали тождества. Теперь у нас появилась новая операция извлечения корня квадратного, и добавились свойства этой операции:
$(\sqrt{a})^2=a$.
$\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{b}$.
$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\sqrt{a^{2n}}=a^n$.
Используя представленные формулы, можно выполнять преобразования выражений и приводить их к более простому виду. При решении задач мы будем предполагать, что числа а и b не отрицательные.

Примеры преобразования выражений

Пример 1.
Упростите выражения:
а) $\sqrt{a^4*b^8}$.
б) $\sqrt{\frac{25a^{10}}{64b^2}}$.

Решение.
а) $\sqrt{a^4*b^8}=\sqrt{a^4}*\sqrt{b^8}=a^2b^4$.
б) $\sqrt{\frac{25a^{10}}{64b^2}}=\frac{\sqrt{25a^{10}}}{\sqrt{64b^2}}=$
$=\frac{5a^5}{8b}$.

Пример 2.
Вынесите множитель из под знака корня квадратного:
а) $\sqrt{64b}$.
б) $\sqrt{121a^5}$.
в) $\sqrt{128a^8b^7}$.

Решение.
Если требуется вынести множитель, то максимально упрощаем выражение до тех выражений, из которых можно извлечь корень. То, что не извлекается из-под корня там и остается.
а) $\sqrt{64b}=\sqrt{64}*\sqrt{b}=8\sqrt{b}$.
б) $\sqrt{121a^5}=\sqrt{121}*\sqrt{a^4*a}=$
$=11*\sqrt{a^4}*\sqrt{a}=11a^2\sqrt{a}$.
в) $\sqrt{128a^8 b^7}=\sqrt{64*2}*\sqrt{a^8}*\sqrt{b^6*b}=$
$=8\sqrt{2}*a^4*b^3*\sqrt{b}=8a^4 b^3 \sqrt{2b}$.

Пример 3.
Внести множитель под знак квадратного корня:
а) $3\sqrt{3}$.
б) $\frac{4a^2b\sqrt{b}}{c^3\sqrt{c^2}}$.

Решение.
Для того, чтобы внести число под корень, достаточно просто его возвести в квадрат и написать корень над ним.
а) $3\sqrt{3}=\sqrt{3^2}*\sqrt{3}=\sqrt{3^2*3}=\sqrt{3^3}$.
б) $\frac{4a^2b\sqrt{b}}{c^3\sqrt{c^2}}=\frac{\sqrt{16a^4 b^2*b}}{\sqrt{c^6*c^2}}=$
$=\frac{\sqrt{16a^4b^3}} {\sqrt{c^8}}$.

Пример 4.
Выполните действия:
а) $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$.
б) $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$.

Решение.
Все формулы разности и суммы квадратов, квадрата разности и кубов разности работают и в нашем примере, давайте в этом убедимся.
а) Для наглядности обозначим: $\sqrt{a}=x$ и $\sqrt{b}=y$.
Тогда наше выражение примет вид: $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.
или $(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2$.
Ввод новой переменной не обязателен, можно было и сразу посчитать. Давайте так и поступим в пункте б).
б) $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2=$
$=a-2\sqrt{ab}+b$.



Пример 5.
Разложить на множители:
а) $9a-6\sqrt{ab}+b$.
б) $c^4\sqrt{c}+8$.

Решение.
а) Внимательно посмотрим на наше выражение. Можно заметить, что оно похоже на формулу квадрата разности. Это так и есть, корень квадратный нам поможет и в этот раз: $9a-6\sqrt{ab}+b=(3\sqrt{a})^2-6\sqrt{ab}+(\sqrt{b})^2=$
$=(3\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$.
б) Внесем под корень множитель и воспользуемся формулой суммы кубов:
$c^4\sqrt{c}+8=\sqrt{c^8*c}+2^3=\sqrt{c^9}+2^3=$
$=\sqrt{(c^3)^3}+2^3=$ $=(\sqrt{c^3}+2)(\sqrt{(c^3)^2}-2\sqrt{c^3}+4)=$
$=(\sqrt{c^3}+2)(\sqrt{c^6}-2\sqrt{c^3}+4)=$ $=(\sqrt{c^3}+2)(c^3-2c\sqrt{c}+4)$.

Пример 6.
Сократите дробь: $\frac{x+4\sqrt{xy}+4y}{x-4y}$.

Решение.
Рассмотрим числитель и знаменатель по отдельности:
1. $x+4\sqrt{xy}+4y=(\sqrt{x})^2+4\sqrt{xy}+(2\sqrt{y})^2=$
$=(\sqrt{x}+2\sqrt{y})^2$.
2. $x-4y=(\sqrt{x}-2\sqrt{y})(\sqrt{x}+2\sqrt{y})$.
3. $\frac{x+4\sqrt{xy}+4y}{x-4y}=\frac{(\sqrt{x}+2\sqrt{y})^2}{(\sqrt{x}-2\sqrt{y})(\sqrt{x}+2\sqrt{y})}=$
$=\frac{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}{\sqrt{x}-2\sqrt{y}}$.

Пример 7.
Упростите выражение: $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{yz}}$.
Решение.
Приведем к общему знаменателю.
$\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{yz}}=$
$=\frac{\sqrt{z}*\sqrt{z}+\sqrt{x}*\sqrt{x}}{\sqrt{xyz}}=\frac{z+x}{\sqrt{xyz}}$.

Пример 8.
Упростите выражение: $\frac{6\sqrt{n}}{n-\sqrt{n}}:\frac{3\sqrt{an}}{2\sqrt{n}-2}$.

Решение.
Для начала рассмотрим каждую дробь по отдельности:
1. $\frac{6\sqrt{n}}{n-\sqrt{n}}=\frac{6\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)}=\frac{6}{\sqrt{n}-1}$.
2. $\frac{3\sqrt{an}}{2\sqrt{n}-2}=\frac{3\sqrt{an}}{2(\sqrt{n}-1)}$.
3. $\frac{6}{\sqrt{n}-1}:\frac{3\sqrt{an}}{2(\sqrt{n}-1)}=$
$=\frac{6}{\sqrt{n}-1}*\frac{2(\sqrt{n}-1)}{3\sqrt{an}}=\frac{4}{\sqrt{an}}$.

Пример 9.
Упростите выражение: $3\sqrt{\frac{1}{15}}+6\sqrt{0,6}-\sqrt{60}$.

Решение.
Выполним ряд действий, прежде всего переведем дроби к неправильному виду.
$3\sqrt{\frac{1}{15}}+6\sqrt{0,6}-\sqrt{60}=$
$=\sqrt{9*\frac{1}{15}}+6\sqrt{\frac{6}{10}}-\sqrt{4*15}=$ $=\sqrt{3*\frac{1}{5}}+6\sqrt{\frac{3}{5}}-2\sqrt{15}=$
$=\sqrt{\frac{3}{5}}+6\sqrt{\frac{3}{5}}-2\sqrt{15}=$ $=\frac{\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{\sqrt{5}}-2\sqrt{15}=$
$=\frac{7\sqrt{3}-2\sqrt{15}*\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=$ $=\frac{7\sqrt{3}-2\sqrt{5} \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5}}=$
$=\frac{7\sqrt{3}-10\sqrt{3}} {\sqrt{5}}=-3\sqrt{\frac{3}{5}}=-\frac{3}{5}\sqrt{15}$.

Задачи для самостоятельного решения

1.Упростите выражение:
а) $\frac{4x+12\sqrt{xy}+9y}{4x-9y}$.
б) $\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{xz}}+\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{yz}}$.
в) $\frac{12\sqrt{n}}{n^6-\sqrt{n^3}}:\frac{4\sqrt{n}}{n^4-n}$.
2. Упростите выражение: $4\sqrt{80}-10\sqrt{\frac{1}{5}}+10\sqrt{3,2}$.