МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Свойства числовых неравенств, алгебра, 8 класс

Урок и презентация на тему: "Основные свойства числовых неравенств и способы их решения."



Материалы для скачивания для 8 класса
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Урок и презентация на тему: "Свойства числовых неравенств"   PowerPoint (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Комбинаторика и теория вероятностей    Уравнения и неравенства



Введение в числовые неравенства


Ребята, с неравенствами мы уже сталкивались, например, когда начинали знакомиться с понятием корня квадратного. Интуитивно понятно, что с помощью неравенств можно оценить, какое из данных чисел больше или меньше. Для математического описания достаточно добавить специальный символ, который будет означать либо больше, либо меньше.

Запись выражения $a>b$ на математическом языка означает, что число $a$ больше числа $b$. В свою очередь, это значит, что $a-b$ – положительное число.
Запись выражения $a<b$ на математическом языка означает, что число $a$ меньше числа $b$. А это значит, что $a-b$ – отрицательное число.

Как и практически все математические объекты неравенства имеют некоторые свойства. Изучением этих свойств мы и займемся на этом уроке.

Свойство 1.
Если $a>b$ и $b>c$, то $a>c$.

Доказательство.
Очевидно, что $10>5$, и $5>2$, и конечно $10>2$. Но математика любит строгие доказательства для самого общего случая.
Если $a>b$, то $a-b$ – положительное число. Если $b>c$, то $b-c$ – положительное число. Давайте сложим два полученных положительных числа.
$a-b+b-c=a-c$.
Сумма двух положительных чисел есть положительное число, но тогда $a-c$ также положительное число. Из чего следует, что $a>c$. Свойство доказано.

Более наглядно данное свойство можно показать, используя числовую прямую. Если $a>b$, то число $a$ на числовой прямой будет лежать правее $b$. Соответственно, если $b>c$, то число $b$ будет лежать правее числа $с$. Свойства числовых неравенств
Как видно из рисунка точка $a$ в нашем случае находится правее точки $c$, а это означает, что $a>c$.

Свойство 2.
Если $a>b$, то $a+c>b+c$.
Иначе говоря, если число $a$ больше числа $b$, то какое бы мы число не прибавили (положительное или отрицательное) к этим числам, знак неравенства будет также сохраняться. Доказывается данное свойство очень легко. Нужно выполнить вычитание. Та переменная, которую прибавляли, исчезнет и получится верное исходное неравенство.

Свойство 3.
а) Если обе части неравенства умножить на положительное число, то знак неравенства сохраняется.
Если $a>b$ и $c>0$, тогда $ac>bc$.
б) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства следует поменять на противоположный.
Если $a>b$ и $c<0$, тогда $ac<bc$.
Если $a<b$ и $c<0$, тогда $ac>bc$.

При делении следует действовать тем же образом (делим на положительное число – знак сохраняется, делим на отрицательно число – знак меняется).

Свойство 4.
Если $a>b$ и $c>d$, то $a+c>b+d$.

Доказательство.
Из условия: $a-b$ – положительное число и $c-d$ – положительное число.
Тогда сумма $(a-b)+(c-d)$ – тоже положительное число.
Поменяем местами некоторые слагаемые $(a+с)-(b+d)$.
От перемены мест слагаемых сумма не изменяется.
Значит $(a+с)-(b+d)$ – положительное число и $a+c>b+d$.
Свойство доказано.

Свойство 5.
Если $a, b ,c, d$ – положительные числа и $a>b$, $c>d$, то $ac>bd$.

Доказательство.
Так как $a>b$ и $c>0$, то, используя свойство 3, имеем $ac>bc$.
Так как $c>d$ и $b>0$, то, используя свойство 3, имеем $cb>bd$.
Итак, $ac>bc$ и $bc >bd$.
Тогда, используя свойство 1, получаем $ac>bd$. Что и требовалось доказать.

Определение.
Неравенства вида $a>b$ и $c>d$ ($a<b$ и $c<d$) называются неравенствами одинакового смысла.
Неравенства вида $a>b$ и $c<d$ ($a<b$ и $c>d$) называются неравенствами противоположного смысла.


Тогда свойство 5 можно перефразировать. При умножение неравенств одного смысла, у которых левые и правые части положительные, получается неравенство того же смысла.

Свойство 6.
Если $a>b$ ($a>0$, $b>0$), то $a^n>b^n$, где $n$ – любое натуральное число.
Если обе части неравенства положительные числа и их возвести в одну и ту же натуральную степень, то получится неравенство того же смысла.
Заметим: если $n$ – нечетное число, то для любых по знаку чисел $a$ и $b$ свойство 6 выполняется.

Свойство 7.
Если $a>b$ ($a>0$, $b>0$), то $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.

Доказательство.
Чтобы доказать данное свойство, необходимо при вычитании $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$ получить отрицательное число.
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=\frac{-(a-b)}{ab}$.

Мы знаем, что $a-b$ – положительное число, и произведение двух положительных чисел – тоже положительное число, т.е. $ab>0$.
Тогда $\frac{-(a-b)}{ab}$ – отрицательное число. Свойство доказано.

Свойство 8.
Если $a>0$, то выполняется неравенство: $a+\frac{1}{a}≥2$.

Доказательство.
Рассмотрим разность.
$a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2-2a+1}{a}=\frac{(a-1)^2}{a}$ – неотрицательное число.
Свойство доказано.

Свойство 9. Неравенство Коши (среднее арифметическое больше либо равно среднего геометрического).
Если $a$ и $b$ – неотрицательные числа, то выполняется неравенство: $\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$.

Доказательство.
Рассмотрим разность:
$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}$ – неотрицательное число.
Свойство доказано.


Примеры решения неравенств


Пример 1.
Известно, что $-1.5<a<2.1$ и $3.1<b<5.3$. Найти оценки чисел:
а) $3a$.
б) $-2b$.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $b^2$.
е) $a^3$.
ж) $\frac{1}{b}$.

Решение.
а) Воспользуемся свойством 3. Умножим на положительное число, значит знак неравенства не меняется.
$-1.5*3<a*3<2.1*3$.
$-4.5<3a<6.3$.

б) Воспользуемся свойством 3. Умножим на отрицательное число, значит знак неравенства меняется.
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3<-2b<-6.2$.

в) Сложив неравенства одинакового смысла, получим неравенство того же смысла.
$-1.5+3.1<a+b<2.1+5.3$.
$1.6<a+b<7.4$.

г) Умножим все части неравенства $3.1<b<5.3$ на минус один. Получится неравенство противоположного смысла.
$-5.3<-b<-3.1$.
Теперь выполним операцию сложения.
$-1.5-5.3<a-b<2.1-3.1$.
$-6.8<a-b<-1$.

д) Все части неравенства положительны, возведя их в квадрат, получим неравенство того же смысла.
${3.1}^2<b^2<{5.3}^2$.
$9.61<b^2<28.09$.

е) Степень неравенства нечетная, тогда можно смело возводить в степень и не менять знак.
${(-1.5)}^3<a^3<{2.1}^3$.
$-3.375<a^3<9.261$.

ж) Воспользуемся свойством 7.
$\frac{1}{5.3}<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac{10}{53}<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.

Пример 2.
Сравните числа:
а) $\sqrt{5}+\sqrt{7}$ и $2+\sqrt{8}$.
б) $π+\sqrt{8}$ и $4+\sqrt{10}$.

Решение.
а) Возведем каждое из чисел в квадрат.
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2=5+2\sqrt{35}+7=12+\sqrt{140}$.
$(2+\sqrt{8})^2=4+4\sqrt{8}+8=12+\sqrt{128}$.
Вычислим разность квадратов этих квадратов.
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2-(2+\sqrt{8})^2=12+\sqrt{140}-12-\sqrt{128}=\sqrt{140}-\sqrt{128}$.
Очевидно, получили положительное число, что означает:
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2>(2+\sqrt{8})^2$.
Так как оба числа положительных, то:
$\sqrt{5}+\sqrt{7}>2+\sqrt{8}$.

б) $π<4$ и $\sqrt{8}<\sqrt{10}$, тогда $π+\sqrt{8}<4+\sqrt{10}$.


Задачи для самостоятельного решения


1. Известно, что $-2.2<a<3.1$ и $1.2<b<3.7$.
Найти оценки чисел.
а) $4a$.
б) $-3b$.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $b^4$.
е) $a^3$.
ж) $\frac{1}{b}$.
2. Сравните числа:
а) $\sqrt{6}+\sqrt{10}$ и $3+\sqrt{7}$.
б) $π+\sqrt{5}$ и $2+\sqrt{3}$.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

8 класс, урок: "Свойства числовых неравенств", способы решения