МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, ЗАДАЧИ, УРОКИ ...
Номер свидетельства СМИ
ЭЛ № ФС 77 - 63677

Сложения и вычитание алгебраических дробей

Урок и презентация по алгебре в 8 классе на тему: "Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями."


Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.



Умножение и деление дробей   Контрольные работы по алгебре, Мордкович

Развивающие и обучающие пособия в интернет-магазине "Интеграл"
Пособие к учебнику Муравина Г.К.   Пособие к учебнику Макарычева Ю.Н.




Что такое алгебраическая дробь?


Алгебраическая дробь – это выражение вида: $\frac{P}{Q}$.

Где:
P – числитель алгебраической дроби.
Q – знаменатель алгебраической дроби.

Приведем примеры алгебраических дробей:

$\frac{a}{b}$, $\frac{12}{q-p}$, $\frac{7y-4}{y}$.


Основные свойства алгебраических дробей


Свойство 1.
И числитель и знаменатель дроби можно умножить на одно и то же число (или на одночлен, или на многочлен). В итоге, мы получим ту же самую дробь, но представленную в другом виде.

По другому это преобразование называется тождественным. Его используют, чтобы привести алгебраическое (и не только) выражение к более простому виду, и работа с этим выражением будет удобнее.

Пример.

$\frac{a}{4b^2}=\frac{a*3b}{4b^2*3b}=\frac{3ab}{12b^3}$.


И числитель и знаменатель мы умножили на одночлен $3b$. В итоге у нас получилась дробь, тождественная исходной.

Пример.

$\frac{a^2}{6b^3}=\frac{a^2*2}{6b^3*2}=\frac{2a^2}{12b^3}$.


При необходимости алгебраическую дробь можно умножить на простое число. В этом примере и числитель и знаменатель мы умножили на число 2. И опять мы получили дробь, тождественную исходной.

Свойство 2.
И числитель, и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число (или одночлен, или многочлен). В итоге мы получим ту же самую дробь, но представленную в другом виде.

Как и в случае с умножением, к такому тождественному преобразованию прибегают, чтобы представить дробь в более простом виде и облегчить работу с ней.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями


Если у алгебраических дробей одинаковые знаменатели, их складывают, как обыкновенные дроби (складывают только числители, а знаменатель остается общим).

Общее правило:

$\frac{a}{d}+\frac{b}{d}-\frac{c}{d}=\frac{a+b-c}{d}$.


Пример.

Упростите выражение:

$\frac{2a^2+5}{a^2-ab}+\frac{2ab+b}{a^2-ab}-\frac{b+5}{a^2-ab}$.


Решение.

Используем правило сложения дробей о котором рассказано выше, то есть сложим числители, а знаменатель запишем общий.

$\frac{2a^2+5}{a^2-ab}+\frac{2ab+b}{a^2-ab}-\frac{b+5}{a^2-ab}=\frac{(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)}{a^2-ab}$.


Поработаем с числителем.

$(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)=$
$2a^2+5+2ab+b-b-5=2a^2+2ab$.


В результате получаем дробь:

$\frac{2a^2+2ab}{a^2-ab}$.


Ребята, перед тем как закончить решение проверьте: нельзя ли ещё упростить полученный результат. Ведь в этом заключается весь смысл преобразования – упростить выражение.
Если посмотреть внимательно, то можно понять, что полученную дробь можно еще упростить.

$\frac{2a^2+2ab}{a^2-ab}=\frac{2a(a+b)}{a(a-b)}=\frac{2(a+b)}{a-b}=\frac{2a+2b}{a-b}$.


Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями


При сложении алгебраических дробей с разными знаменателями надо действовать так же, как при работе с обыкновенными дробями. Сперва нужно привести дробь к общему знаменателю, а за тем сложить или вычесть числители дробей, в соответствии с общим правилом, которое мы рассмотрели.

Пример.
Вычислите:

$\frac{a}{4b^2}+\frac{a^2}{6b^3}$.


Решение.
Приведем эти дроби к общему знаменателю. В данного примера общим знаменателем является одночлен $12b^3$.
Тогда.

$\frac{a}{4b^2}+\frac{a^2}{6b^3}=\frac{3ab}{12b^3}+\frac{2a^2}{12b^3}=
\frac{3ab+2a^2}{12b^3}$.


Самое сложное – это нахождение общего знаменателя для дробей. В некоторых случаях – это не простая задача.
При нахождении общего знаменателя можно придерживаться правил:
1. Если оба знаменателя являются одночленами без скобок, то лучше в начале подобрать общий знаменатель для числа, а затем – для переменной. В нашем примере число – 12, а переменная – $b^3$.
2. Если знаменатель представляет из себя более сложное выражение, например, $х + 1$, $x +y$ и тому подобное, то лучше подобрать знаменатель в виде произведения знаменателей, например, $(х + у)( х - у)$. Такой знаменатель делится и на $х + у$, и на $х - у$.

Запомните!
Для двух алгебраических дробей общих знаменателей можно подобрать сколько угодно. Но для упрощения расчетов, нужно выбрать самый простой из возможных.



Добавить комментарий

Защитный код
Обновить

главное меню

задачи

уроки

Сложение дробей, вычитание дробей в 8 классе, урок и презентация сложении и вычитании алгебраических дробей