1. Найдите значения выражений.

а) $\sin(\frac{\pi}{15})cos(\frac{4\pi}{15})+cos(\frac{\pi}{15})sin(\frac{4\pi}{15})$.

б) $\cos(123°)cos(78°)+sin(123°)sin(78°)$.

2. Упростите выражения.

а) $-cos(α+β)-sin(β)sin(α)$;

б) $cos(x-\frac{2\pi}{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)$.

3. Докажите тождество: $sin(α-β)-cos(α-β)=(sin(α)-cos(α))(cos(β)+sin(β))$.

4. Решите уравнение: $cos(7x)cos(5x)+sin(7x)sin(5x)=0$.

5. Зная, что $cos(α)=\frac{4}{5}$, $0<α<\frac{\pi}{2}$, найдите $tg(\frac{\pi}{4}-α)$.

6. Известно, что $sin(\frac{2π}{3}-t)-sin(\frac{2π}{3}+t)=q$. Найдите $sin(\frac{2π}{3}-t)*sin(\frac{2π}{3}+t)$.

7. Найдите значения выражений.

а) $\sin(133°)cos(73°)-cos(133°)sin(73°)$.

б) $\cos(\frac{π}{14})cos(\frac{19π}{28})-sin(\frac{π}{14})sin(\frac{19π}{28})$.

8. Упростите выражения.

а) $-sin(α+β)+cos(α)sin(β)$.

б) $cos(y-\frac{3π}{4})-\frac{\sqrt{2}}{2}sin(y)$.

9. Докажите тождество: $-cos(α+β)-cos(α-β)=-2cos(α)cos(β)$.

10. Решите уравнение: $sin(8x)cos(4x)-cos(8x)sin(4x)=0$.

11.Зная, что $sin(α)=-\frac{3}{5}$, $\pi<α<\frac{3\pi}{2}$, найдите $ tg(α+\frac{\pi}{4})$.

12. Известно, что $cos(\frac{3\pi}{4}-t)-cos(\frac{3\pi}{4}+t)=q$. Найдите $cos(\frac{3\pi}{4}-t)*cos(\frac{3\pi}{4}+t)$.

Ответы на задачи.



Ответы на задачи.

1.
a) $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решение.
$\sin(\frac{\pi}{15})cos(\frac{4\pi}{15})+cos(\frac{\pi}{15})sin(\frac{4\pi}{15})$.
$\sin(\frac{\pi}{15}+\frac{4\pi}{15})=sin(\frac{5\pi}{15})=sin(\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решение.
$\cos(123°)cos(78°)+sin(123°)sin(78°)$.
$cos(123°-78°)=cos(45°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2.
а) $-cos(α)cos(β)$.
Решение.
$-cos(α+β)-sin(β)sin(α)=-(cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β))-sin(β)sin(α)=-cos(α)cos(β)$.

б) $-\frac{1}{2}cos(x)$.
Решение.
$cos(x-\frac{2\pi}{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)=cos(x)cos(\frac{2π}{3})+sin(x)sin(\frac{2π}{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)=$
$=cos(x)(-\frac{1}{2})+sin(x)\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)=-\frac{1}{2}cos(x)$.

3.
Решение.
$sin(α-β)-cos(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)-(cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β))=$ $=sin(α)(cos(β)+sin(β))-cos(α)(sin(β)+cos(β))=(sin(α)-cos(α))(cos(β)+sin(β))$.

4. $x=\frac{π}{4}+\frac{πn}{2}$.
Решение.
$cos(7x)cos(5x)+sin(7x)sin(5x)=0$.
$cos(2x)=0$.
$2x=\frac{π}{2} +πn$.
$x=\frac{π}{4}+\frac{πn}{2}$.

5. $\frac{1}{7}$.
Рекомендации к решению. Используйте основное тригонометрическое тождество для поиска синуса. $sin(α)=\frac{3}{5}$; $tg(α)=\frac{sin(α)}{cos(α)}=\frac{3}{4}$.
$tg(\frac{π}{4}-α)=(tg(\frac{π}{4})-tg(α)) : (1+tg(\frac{π}{4})tg(α))=(1-\frac{3}{4}) : (1+\frac{3}{4})=\frac{1}{7}$.

6. $\frac{3}{4}-q^2$.
Решение.
$sin(\frac{2π}{3}-t)-sin(\frac{2π}{3}+t)=q$.
$sin(\frac{2π}{3}-t)-sin(\frac{2π}{3}+t)=sin(\frac{2π}{3})cos(t)-cos(\frac{2π}{3})sin(t)-sin(\frac{2π}{3})cos(t)-cos(\frac{2π}{3})sin(t)=$
$=-2cos(\frac{2π}{3})sin(t)=-2*\frac{-1}{2}*sin(t)=sin(t)=q$.
$cos^2(t)=1-sin^2(t)=1-q^2$.
$sin(\frac{2π}{3}-t)*sin(\frac{2π}{3}+t)=(sin(\frac{2π}{3})cos(t)-cos(\frac{2π}{3})sin(t))(sin(\frac{2π}{3})cos(t)+cos(\frac{2π}{3})sin(t))=$ $=sin^2(\frac{2π}{3})cos^2(t)-cos^2(\frac{2π}{3})sin^2(t)=\frac{3}{4}(1-q^2)-\frac{1}{4}q^2=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}q^2-\frac{q^2}{4}=\frac{3}{4}-q^2$.

7.
а) $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
б) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

8.
а) $-sin(α)cos(β)$.
б) $-\frac{\sqrt{2}}{2}cos(y)$.

10. $\frac{πn}{4}$.

11. 7.

12. $\frac{1-q^2}{2}$.