Что будем изучать:
1. Определение.
2. Период функции.
3. Основной период функции.
4. Примеры.

Определение периодичности

Ребята, рассмотрим подробно одно из свойств тригонометрических функций – периодичность. Так что же это такое?

Определение
Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что выполняется тождество:

f(x-T)=f(x)=f(x+T)

Число Т называется периодом функции.

Из формул привидения мы знаем:

sin(x-2π)=sin(x)= sin(x+ 2π)

cos(x-2π)=cos(x)= cos(x+ 2π),

Таким образом мы доказали периодичность функций sin(x) и cos(x), причем стоит заметить, что число 2π – период наших функций.

Свойства периодичности

Рассмотрим конкретный пример.

Если функция y=f(x) имеет период Т, то для построения графика функции нужно сначала построить ветвь (волну, часть) графика налюбом промежутке длины Т, а затем сдвинуть эту ветвь по оси абсцисс влево и вправо на Т, 2Т, 3Т и так далее.
У периодической функции бесконечно много периодов, если Т период, то и 2Т и 3Т и 10Т тоже периоды, вообще любое число вида: kT, где k- целое число.
Наименьший положительный период называется основным периодом.


Построение графика функции.
Любое число вида 2πk, где k – целое число, является периодом функции y=sin(x)=sin(x+ 2πk), y=cos(x)=cos(x+ 2πk)
2π – основной период этих функций.



Основной период функций вида sin(kx), cos(kx) равен |2π/k |

Пример №1

Найти основной период функции sin(7x)

Решение:
Пусть Т основной период нашей функции, тогда: sin(7x)=sin(7(x+t))=sin(7x+7t).
мы знаем что 2πk период синуса, найдем решение нашей задачи:
sin(7x+7t)= sin(7x+ 2πk)

7t = 2πk

t = 2πk/7


Ответ: T = 2πk/7

Пример №2

Найти основной период функции cos(0.3x)br /> Решение: 
Пусть Т основной период нашей функции, тогда: cos(0.3x)=cos(0.3(x+t))=cos(0.3x+0.3t).

мы знаем что 2πk период косинуса, найдем решение нашей задачи:

cos(0.3x+0.3t)= cos (0.3x+ 2πk)

0.3t = 2πk

t = 2πk/0.3=2πk ×10/3=20πk/3

Ответ: T = 20πk/3 Задачи для самостоятельного решения Найти основной период функции cos(0.7x), sin(5x), sin(0.4x), cos(8x).