Ребята, на этом уроке мы займемся математическим описанием того способа, который применяли на прошлом уроке. Как разбиение отрезка и суммирование его частей описать одним термином?

Допустим дана непрерывная функция $y=f(x)$ на отрезке $[a;b]$.
1) Разобьем отрезок $[a;b]$ на n равных частей.
2) Составим сумму:
$S_n=f(x_0)*∆x_0+f(x_1)*∆x_1+f(x_2)*∆x_2+⋯+f(x_k)*∆x_k+⋯$ $+f(x_{n-1})*∆x_{n-1}$.
$∆x_0=x_1-x_0=x_1-a$.
$∆x_k=x_{k+1}-x_k$.
$∆x_{n-1}=x_n-x_{n-1}=b-x_{n-1}$.
3) Вычислим предел: \[S=\lim_{n \rightarrow ∞}S_n\] Такой предел на самом деле существует, Для него было введено специальное обозначение и название "определенный интеграл".
Важно! Определенный интеграл существует только для непрерывной или кусочно-непрерывной функции.
Определенный интеграл от непрерывной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a;b]$ обозначается, как $\int_{a}^{b} f(x)dx$.

Читается, как "определенный интеграл от a до бэ эф от икс дэ икс".
Числа a и b – пределы интегрирования (нижний и верхний пределы).
Геометрический смысл определенного интеграла: Площадь криволинейной трапеции вычисляет по формуле: $S=∫_a^b f(x)dx$.
Физический смысл определенного интеграла: масса m неоднородного стержня плотностью $ρ=ρ(x)$, находящегося на отрезке $[a;b]$, вычисляется по формуле: $m=∫_a^b ρ(x)dx$.

Перемещение S материальной точки, движущейся по прямой со скоростью $V=V(t)$, за промежуток времени от $t=a$ до $t=b$, вычисляется по формуле: $S=∫_a^b V(t)dt$.

Определенный интеграл имеет множество других смыслов. Если понимать, что это такое, то его можно встретить на каждом шагу.
Как же вычислять определенный интеграл?
В начале прошлого урока мы упомянули, что все рассматриваемые задачи решаются с помощью первообразной. Но мы нигде ее не встретили, и даже намека на ее применение не было.
Ребята, помните, как мы начали изучать первообразную? Какую задачу мы рассматривали?
Правильно, мы искали зависимость пройденного пути от скорости. Сейчас мы рассмотрели схожую задачу.

Координата движущейся точки есть первообразная от скорости материального тела.

Путь, пройденный телом по прямой, можно описать так: $S=∫_a^b V(t)dt=s(b)-s(a)$, где s – первообразная для V.
В курсе математического анализа доказана теорема, которую принято называть "Формулой Ньютона–Лейбница". В честь двух знаменитых ученых, которым удалось получить это формулу почти одновременно, независимо друг от друга.

Теорема "Формула Ньютона–Лейбница"

Если функция $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то справедлива формула $∫_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$, где $F(x)$ – первообразная для $f(x)$.
Чаще всего встречается вот такая форма записи формулы: $∫_a^b f(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$.

Из теоремы следуют два важных свойства.
Свойство 1. Интеграл от суммы функции равен сумме интегралов функций: $∫_a^b (f(x)+g(x))dx=∫_a^b f(x)dx+∫_a^b g(x)dx$.

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: $∫_a^b k*f(x)dx=k*∫_a^b f(x)dx$.

Пример.
Вычислить определенный интеграл: $∫_1^2 x^4dx$.
Решение.
Первообразной для $x^4$ служит $\frac{x^5}{5}$.
Воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница: $∫_1^2 x^4dx=\frac{x^5}{5}|_1^2=\frac{2^5}{5}-\frac{1^5}{5}=\frac{32}{5}-\frac{1}{5}=\frac{31}{5}$.

Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной функцией $y=cos(x)$ на отрезке $[0;π/2]$.
Решение.
Давайте построим график косинуса на нашем отрезке.
Площадь полученной фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла: $S=∫_0^\frac{π}{2} cos(x)d(x)=sin(x)|_0^\frac{π}{2}=sin(\frac{π}{2})-sin(0)=1$, где $a=0$, $b=\frac{π}{2}$, $f(x)=cos(x)$.
Ответ: $S=1$.

Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\sqrt[4]{x}$; $y=0$; $x=16$.
Решение.
Давайте построим требуемую фигуру на координатной плоскости.
Вычислим площадь нашей фигуры с помощью определенного интеграла. $S=∫_0^{16} \sqrt[4]{x}dx=∫_0^{16} x^{\frac{1}{4}}dx=\frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1}|_0^{16}$= $=\frac{4}{5}*x^{\frac{5}{4}}|_0^{16}=\frac{4}{5}*{16}^{\frac{5}{4}}-\frac{4}{5}*0^{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}*32=25,6$.
Ответ: $S=25,6$.

Задачи для самостоятельного решения

1.Вычислить определенный интеграл: $∫_2^4 8*x^3dx$.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функцией $y=sin(x)$ на отрезке $[2π;3π]$.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y=x^3$; $y=0$; $x=0$; $x=2$.