Ребята, на прошлом уроке мы с вами изучали перестановки и размещения. Сегодня мы остановимся на одном из самых замечательных применением формулы перестановок.
Числа $C_n^{k}$ имеют очень красивую и знаменитую запись, которая имеет большое значение. Такая запись называется треугольником Паскаля:
Правило записи треугольника легко запомнить. Каждое число в треугольнике паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке. Давайте распишем несколько строк:
Математически свойство подсчета числа сочетаний без повторений можно записать еще вот так:
Как оказалось треугольника Паскаля находит свое применение и в другой математической задаче. Давайте вспомним несколько правил возведения в квадрат суммы.
Самое первое правило, которое мы с вами выучили, это квадрат суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
Довольно таки легко найти выражение и для следующей степени, используя правила перемножения многочленов:
$(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
Проделаем эту же операцию и для четвертой степени:
$(a+b)^4=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a+b)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

Выпишем для наглядности все наши формулы:
$(a+b)^1=a+b$.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
$(a+b)^4=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a+b)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

Давайте проведем небольшой анализ полученных формул.

Обратить внимание: показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части для любого слагаемого.

Для четвертой степени, очевидно, что слева показатель равен 4. В правой части показатель степени при первом слагаемом равен для а четырем, для b нулю и в сумме равен 4.

Для второго слагаемого сумма показателей равна $3+1=4$, для следующего - $2+2=4$ и так до самого конца сумма показателей равна 4.

Ребята, посмотрите внимательно на коэффициенты в правой части. Что он вам напоминает? Правильно, коэффициенты образуют треугольник Паскаля.

Эти два замечательных свойства, замеченных выше, позволяют вычислять сумму двух одночленов в n-ой степени:
$(a+b)^n=C_n^{0}a^n+C_n^{1}a^{n-1}b+C_n^{2}a^{n-2}b^2+C_n^{3}a^{n-3}b^3+...+C_n^{k}a^{n-k}b^k+...+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^{n}b^n$.

Давайте попробуем доказать нашу формулу:
Рассмотрим слагаемое, стоящее на месте под номером $k+1$. По написанной выше формуле получаем, вот такое слагаемое: $C_n^{k}a^{n-k}b^k$.
Нам нужно доказать, что коэффициент при данном одночлене как раз и равен $C_n^{k}$.
Для того, чтобы двучлен возвести в n-ую степень нам нужно этот двучлен умножить на себя n раз, то есть:
Чтобы получить требуемое слагаемое надо выбрать k штук множителей для b. Тогда получается $n-k$ множителей для а. В каком порядке будем выбирать данные множители не важно. Эта задача есть ни что иное как: число сочетаний из n элементов по k без повторений или $C_n^{k}$.
Наша формула доказана.

Полученная нами формула называется "Бином Ньютона".

$(a+b)^n=C_n^{0}a^n+C_n^{1}a^{n-1}b+C_n^{2}a^{n-2}b^2+C_n^{3}a^{n-3}b^3+...+C_n^{k}a^{n-k}b^k+...+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^{n}b^n$.

Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми, это биномиальные коэффициенты.

Пример.
Раскрыть скобки:
а) $(y+1)^7$; б) $(z^2-3t)^5$.
Решение.
Применим нашу формулу:
$а(y+1)^7=C_7^{0}y^7+C_7^{1}*y^6*1+C_7^{2}*y^5*1^2+C_7^{3}*y^4*1^3+C_7^{4}*y^3*1^4+$
$+C_7^{5}*y^2*1^5+C_7^{6}*y*1^6+C_7^{7}*1^7$.

Вычислим все коэффициенты:
$C_7^{0}=1$; $C_7^{1}=7$; $C_7^2=\frac{7!}{2!5!}=21$; $C_7^3=35$; $C_7^4=35$; $C_7^5=21$; $C_7^6=7$; $C_7^7=1$.

В итоге получаем: $(y+1)^7=y^7+7*y^6+21*y^5+35*y^4+35*y^3+21*y^2+7*y+1$.

б) $(z^2-3t)^5=C_5^{0}*(z^2)^5+C_5^{1}*(z^2 )^4*(-3t)^1+C_5^{2}*(z^2)^3*(-3t)^2+$
$C_5^{3}*(z^2 )^2*(-3t)^3+C_5^{4}*(z^2)^1*(-3t)^4+C_5^{5}*(z^2)^0*(-3t)^5=$
$z^{10}+5*z^8*(-3t)+10*z^6*(9t^2)+10*z^4*(-27t^3)+5*z^2*(81t^4)-243t^5=$
$z^{10}-15z^8 t+90z^6t^2-270z^4t^3+405z^2t^4-243t^5$.

В конце урока обратим вниманием на еще одно удивительное свойство.
Рассмотрим двучлен: $(x+1)^n$.
Используя Бином Ньютона получим:
При $х=1$ получаем: $(x+1)^n=C_n^{0}x^n+C_n^{1}x^{n-1}+C_n^{2}x^{n-2}+C_n^{3}x^{n-3}+...+C_n^{n-2}x^{2}+C_n^{n-1}x+C_n^{n}$.
При $х=1$ получаем: $2^n=C_n^{0}+C_n^{1}+C_n^{2}+C_n^{3}+...+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}+C_n^{n}$.

Задачи для самостоятельного решения

Избавьтесь от скобок:
а) $(x+2)^6$;
б) $(3x+2y)^4$;
в) $(2z-2t)^8$;
г) $(x-4y)^5$.