Ребята, нам осталось рассмотреть еще один метод решения уравнений – функционально-графический. Суть метода проста, и мы с вами им уже пользовались.

Пусть нам дано уравнение вида $f(x)=g(x)$. Мы строим два графика $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на одной координатной плоскости и отмечаем точки, в которых наши графики пересекаются. Абсцисса точки пересечения (координата по х) - это и есть решение нашего уравнения.

Так как метод называется функционально-графическим, то не всегда нужно строить графики функций. Можно пользоваться и свойствами функций. Например, вы видите явное решение уравнения в какой-то точке: если одна из функций строго возрастает, а другая строго убывает, то это и будет единственное решение уравнения. Свойства монотонности функций часто помогают при решении различных уравнений.

Вспомним еще один метод: если на промежутке Х, наибольшее значение любой из функций $y=f(x)$, $y=g(x)$ равно А, а соответственно наименьшее значение другой функции также равно А, то уравнение $f(x)=g(x)$ равносильно системе: $\begin {cases} f(x)=A, \\ g(x)=A. \end {cases}$

Пример.
Решить уравнение: $\sqrt{x+1}=|x-1|$.

Решение.
Построим графики функций, на одной координатной плоскости: $y=\sqrt{x}+1$ и $y=|x-1|$.


Как видно из рисунка наши графики пересекаются в двух точках с координатами: А(0;1) и B(4;3). Решением исходного уравнения будут абсциссы этих точек.

Ответ: $х=0$ и $х=4$.

Пример.
Решить уравнение: $x^7+3x-134=0$.

Решение.
Перейдем к равносильному уравнению: $x^7=134-3x$.
Можно заметить, что $х=2$ является решением данного уравнения. Давайте докажем, что это единственный корень.
Функция $y=x^7$ – возрастает на всей области определения.
Функция $y=134-3x$ – убывает на всей области определения.
Тогда графики этих функций либо вообще не пересекаются, либо пересекаются в одной точке, это точку мы уже нашли $х=2.$

Ответ: $х=2$.

Пример.
Решить уравнение: $\frac{8}{x}=\sqrt{x}$.

Решение.
Данное уравнение можно решить двумя способами.
1. Опять же заметим, что $х=4$ – корень уравнения. На отрезке $[0;+∞)$ гипербола убывает, а функция корня квадратного возрастает. Следовательно имеется не более одного пересечения графиков. Значит $х=4$ – единственный корень данного уравнения.
2. Построим два графика.
На графике видна точка пересечения графиков с координатой по $х=4$.

Ответ: $х=4$.

Пример.
Решить уравнение: $sin(\frac{π}{2}*x)=x^2-6x+10$.

Решение.
Функция $y=sin(\frac{π}{2}*x)$ – периодическая функция с максимальным значением, равным единице.
Функция $y=x^2-6x+12$ – парабола, ветви которой смотрят вверх. Это означает, что минимальное значение функция достигает в своей вершине. Найдем вершину и значение в вершине:
$x_{верш.}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2}=3$.
$y_{верш.}=9-18+10=1$.
Как мы видим минимальное значение параболы совпадает с максимальным значением косинуса на всей числовой оси, тогда мы можем решить систему:
$\begin {cases} sin(\frac{π}{2}*x)=1, \\ x^2-6x+10=1. \end {cases}$
Решением данной системы является $х=3$.

Ответ: $х=3$.

Задачи для самостоятельного решения

Решить следующие уравнения:
1. $\sqrt{x}-2=|x|-4$.
2. $x^3+5x-42=0$.
3. $\frac{-16}{x}=2\sqrt{-x}$.
4. $cos(\frac{π}{2}*x)=x^2-8x+17$.