Примеры геометрической вероятности

Ребята, мы подобрались к завершению изучения разделов теории вероятности. Нам осталось рассмотреть только один случай. До этого количество испытаний, для которых мы вычисляли вероятность, было конечно. Как быть в случае, когда у нас бесконечное число, т.е. $n=∞$?
Одним из способов вычисления таких вероятностей является, так называемая, геометрическая вероятность.

Пример.
Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $|x-5|≤2$.
Какова вероятность, того что это решение окажется решением неравенства $|x-2|≤13$?

Решение.
Что такое модуль с геометрической точки зрения? Он показывает расстояние между точками, стоящими под знаком модуля. $|x-5|≤2$ означает, что расстояние между х и 5 не больше 2. Изобразим решение неравенства:

Длина, получившегося отрезка, равна 4.
По аналогии, $|x-2|≤13$ означает, что расстояние между х и 2 не больше 13.


Длина, получившегося отрезка, равна 24.
Давайте наложим отрезки друг на друга:
Решения неравенства $|x-5|≤2$ составляют лишь шестую часть от решений неравенства $|x-2|≤13$. Значит, требуемая вероятность и равна $\frac{1}{6}$.

Общее правило геометрической вероятности

Сформулируем общее правило поиска геометрической вероятности:
если длину l(A) промежутка А разделить на длину l(X) промежутка Х, который целиком содержит промежуток А, то получится вероятность того, что точка, случайно выбранная из промежутка Х, попадет в промежуток А: $P=\frac{l(A)}{l(X)}$.

По аналогии поступают и для более объемных фигур. В двумерном пространстве ищут отношение площадей, а в трехмерном пространстве - отношение объемов.

Пример.
Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в квадрат, вписанный в него.

Решение.
Схематично изобразим требуемую фигуру:

Пусть радиус круга равен R, тогда сторона квадрата равна $\sqrt{2}R$. При этом площадь круга равна$S_{кр}=πR^2$, а площадь квадрата равна $S_{кв}=2R^2$.

Вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в квадрат, вписанный в него, равна единица минус вероятность того, что точка попадет в круг, т.е.:

$P=1-\frac{S_{кв}}{S_{кр}}=1-\frac{2R^2}{πR^2}=1-\frac{2}{π}=\frac{π-2}{π}≈0,36$.

В начале урока мы говорили, что рассмотрим случай для бесконечного числа испытаний. Но, казалось бы, где тут бесконечно много испытаний? На самом деле, даже между двумя числами, замкнутыми в отрезок лежит бесконечно много чисел, вот от сюда и вытекает бесконечность.

Задачи на геометрическую вероятность для самостоятельного решения

1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $|x-3|≤6$, какова вероятность, того что это решение окажется решением неравенства $|x-1|≤8$?

2. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $|x-2|≥2$, какова вероятность, того что это решение окажется решением неравенства $|x-3|≤15$?

3. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в квадрат, попадет в окружность, вписанную в него.