Этот метод довольно часто встречается при решении уравнений, и мы с вами им не раз пользовались.Его можно использовать в следующих случаях:

• Если исходное уравнение $f(x)=0$ имеет сложный вид, но его удалось преобразовать к уравнению вида $h(g(x))=0$.
• Нужно произвести замену переменных $u=g(x)$.
• Решить уравнение $h(u)=0$, найти корни $u_1$, $u_2$, … $u_n$.
• Ввести обратную замену $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$.
• Решить каждое из уравнений $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$. Корни каждого из уравнений и будут решениями исходного уравнения.

Метод замены переменной, требует хорошего навыка и опыта работы с уравнениями. После решения большого количества уравнений общий вид этих уравнений хорошо запоминается и придумать замену, приводящую к уже известным уравнениям, становится гораздо проще. Стоит также проверять все корни, полученные при замене уравнений и только после этого возвращаться к исходной переменной.

Пример.
Решить уравнение: $8x^6+7x^3-1=0$.

Решение.
Введем замену $y=x^3$. Тогда наше уравнение сводится к квадратному уравнению:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8y-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac{1}{8}$ и $y_2=-1$.

На данном этапе при решении более сложных уравнений следует проверить полученные корни.
Введем обратную замену: $x^3=\frac{1}{8}$ и $x^3=-1$.
Корни данных уравнений найти легко: $x_1=\frac{1}{2}$ и $x_2=-1$.

Ответ: $х=0,5$ и $х=-1$.

Пример.
Решить уравнение: $\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}+4\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}}=4$.

Решение.
Проведем равносильные преобразования:
$\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}}=(\frac{2x-1}{2x+3})^{\frac{1}{2}}=(\frac{2x+3}{2x-1})^{-\frac{1}{2}}=((\frac{2x+3}{2x-1})^{\frac{1}{2}})^{-1}=\frac{1}{\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}}$.

Введем замену: $u=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}$, тогда наше уравнение сводится к $u+\frac{4}{u}=4$. $u^2-4u+4=0$, откуда $u=2$.

Введем обратную замену: $\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}=2$.

$2x+3=4(2x-1)$, решив линейное уравнение $х=1\frac{1}{6}$.

Пример.
Решить уравнение: $2^x+2^{1-x}=3$.

Решение.
Наше уравнение сводится к равносильному уравнению: $2^x+\frac{2}{2^x}=3$.

Введем замену: $t=2^x$.
$t+\frac{2}{t}=3$,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0$,
$t_1=2$ и $t_2=1$.

Введем обратную замену: $2^x=2$ и $2^x=1$. Откуда: $х=1$ и $х=0$.

Ответ: $х=1$ и $х=0$.

Пример.
Решить уравнение: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.

Решение.
Преобразуем наше уравнение.
$lg^2(x^2)=(lg(x^2))^2=(2lg(x))^2=4lg^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.

Исходное уравнение равносильно уравнению: $4lg^2x+lgx-5=0$.

Введем замену: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$(4u+5)(u-1)=0$.

Введем обратную замену: $lgx=-1,25$ и $lgx=1$.
Ответ: $x=10^{-\frac{5}{4}}$ и $x=10$.

Пример.
Решить уравнение: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.

Решение.
Введем замену: $cos(x)-sin(x)=y$.

Тогда: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sin(x)cos(x)=\frac{1-y^2}{2}$.

Исходное уравнение равносильно:
$\frac{1-y^2}{2}+6y+6=0$,
$1-y^2+12y+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0$.

Введем обратную замену: $cos(x)-sin(x)=13$ - очевидно, что решений нет, так как косинус и синус ограничены по модулю единицей.

$cos(x)-sin(x)=-1$ - умножим обе части уравнения на $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}sin(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$sin(\frac{π}{4}-x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\begin {cases} \frac{π}{4}-x=-\frac{π}{4}+2πn, \\ \frac{π}{4}-x=-\frac{3π}{4}+2πn. \end {cases}$
$\begin {cases} x=\frac{π}{2}+2πn, \\ x=π+2πn. \end {cases}$

Ответ: $x=\frac{π}{2}+2πn$ и $π+2πn$.

Задачи для самостоятельного решения

Решить следующие уравнения:
1. $x^8+3x^4-4=0$.

2. $\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}+5\sqrt{\frac{x+3}{5x-1}}=6$.

3. $5^x+5^{2x+1}=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sin(2x)-11sin(x)=11cos(x)-7$.