Ребята, мы продолжаем изучать теорию вероятности. Сегодня мы остановимся на таких понятиях, как зависимые и независимые события. На прошлом уроке мы уже сталкивались с независимыми событиями при решении одной из задач.
Что такое независимое событие? Очевидно, что два события не зависимы, если они происходят не зависимо друг от друга, результаты этих событий никак не зависят друг от друга.
Остановимся подробнее на зависимых событиях.

Давайте введем определение: Произведением двух событий А и Б, называют такое событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят события А и Б одновременно, т. е. происходит и событие А, и событие Б. Принято обозначать: А*Б.
Если событие А – стоимость некоторого товара, превышающая 100 рублей, а событие Б – стоимость товара, не превышающая 110 рублей, то одновременное событие А и Б – это стоимость товара больше 100 рублей, но меньшая 110 рублей.

Пример.
Событие А – случайное выбранное двузначное четное число. Событие Б – случайно выбранное натуральное число, которое делится на 10. Когда одновременно выполняются события А и Б?

Решение.
Событие А – это множество четных двузначных чисел, т.е. {10,12,14…96,98}.
Событие Б – это множество двузначных чисел делящихся на 10, т.е. {10,20,30,…,100,…,150…}.
Одновременное выполнение событий А и Б есть ни что иное, как пересечение двух этих множеств. А∩Б={10,20,30,40,50,60,70,80,90}.
По другому вопрос нашей задачи можно сформулировать так: найдите произведение событий А и Б. Произведение и пересечение событий практически эквивалентные понятия.
Многие разделы математики так или иначе пересекаются. Так теория множеств и теория вероятностей имеют очень схожие определения и понятия. Ребята, давайте составим таблицу схожих понятий.


Утверждение 1. Сумма вероятностей двух событий равна сумме вероятности произведения этих событий и вероятности суммы этих событий.
$P(A)+P(B)=P(A*B)+P(A+B)$.

В теории вероятности принято писать другую формулировку для вероятности суммы двух событий:
$P(A+B)= P(A)+P(B)-P(A*B)$.
Доказательство утверждения приводить не будем.

Давайте введем точное определение независимых событий, как принято в теории вероятности.

Определение. События А и В называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: $P(A*B)=Р(А)*Р(В)$.

Несовместность и независимость двух событий немного разные понятия. Несовместные события – множество возможных исходов событий, которые никак не пересекаются. Независимость – это более абстрактное понятие, результаты событий никак не зависят друг от друга, но могут иметь какие общие элементы.

Утверждение 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна сумме вероятностей этих событий минус произведение вероятностей событий: $P(A+B)= P(A)+P(B)-P(A)*P(B)$.

Доказательство этого утверждения вытекает из определения независимых событий и утверждения 1.
Ребята, попробуйте сами провести четкое и последовательное доказательство.

Если при решение задач логически подразумевается конструкция "или", то следует искать вероятность суммы событий; если логически подразумевается конструкция "и", то вероятность произведения событий.

Пример.
В билете предложено решить две задачи. Вероятность решения первой задачи равна 0,8. Вероятность правильного решения второй – 0,7. Найдите вероятности следующих событий:
а) Обе задачи будут решены.
б) Обе задачи не будут решены.
в) Будет решена хотя бы одна задача.
г) Будет решена ровно одна задача.

Решение.
Давайте выделим события. Событие А – решение первой задачи: $Р(А)=0,8$.
Событие В – решение второй задачи: $Р(В)=0,7$. А и В независимы.

а) Если обе задачи будут решены, значит одновременно выполняются события А и В, то есть из определения – произведение событий А и В, т.к. события не зависимы:
$Р(А*В)=Р(А)*Р(В)=0,8*0,7=0,56$.

б) Обе задачи не будут решены. Не правильное решение – обратное событие правильному решению, тогда мы можем рассмотреть и обратные вероятности:
$P(\overline{A})=1-P(A)=0,2$,
$P(\overline{В})=1-P(В)=0,3$.
Обратные события так же независимы: $P(\overline{A}*\overline{В})=P(\overline{A})*P(\overline{В})=0,06$.

в) Будет решена хотя бы одна задача. Это значит, что нужно решить или первую, или вторую задачу, или одновременно решить обе задачи. Логически нам подходит конструкция или. Тогда нам надо найти вероятность суммы событий А и В.
$P(A+B)= P(A)+P(B)-P(A)*P(B)=0,8+0,7-0,56=0,94$.

Наш пример можно решить и другим способом. Каково обратное событие к нашему условию? Правильно, ни одного правильного решения, но такую задачу мы уже решили в пункте б). Тогда вероятность хотя бы одного решения:
$P(A+В)=1-P(\overline{A+B})=1-0,06=0,94$.

г) Будет решена ровно одна задача. В этом задании одновременно правильно обе задачи решить нельзя, то есть либо решили первую, но вторую не решили, либо наоборот.
$P(A*\overline{B}+\overline{A}*B)=P(A*\overline{B})+P(\overline{A}*B)=0,8*0,3+0,2*0,7=0,24+0,14=0,38$.
Также можно вернуться к пункту в) и из полученной там вероятности вычесть вероятность одновременного решения: $P(A+B)-P(A*B)=0,94-0,56=0,38$.
Ответ: а) 0,56 б) 0,06 в) 0,94 г) 0,38.

Задачи для самостоятельного решения

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха первого равна 0,3; вероятность промаха второго – 0,15. Найти вероятности того, что:
а) Первый стрелок попадет, а второй промахнется.
б) Оба стрелка промахнутся.
в) Цель будет поражена дважды.
г) Цель будет поражена ровно один раз.