Ребята, мы рассмотрели основные принципы решения уравнений с одной переменой. Давайте рассмотрим неравенства с одной переменой.
Вообще, что такое неравенство? Выражение вида $f(x)>g(x)$; $(f(x)<g(x))$ являются неравенствами. При записи неравенств в общем виде не принципиально, какой знак неравенства применять. Все свойства, рассмотренные на нашем уроке, распространяются как на строгие, так и не строгие неравенства.
Любое значение переменой х, при котором неравенство $f(x)>g(x)$ превращается в верное числовое неравенство, называется решением или чаще говорят частное решение. Множество всех частных решений называется общим решением.

Итак, под решением неравенства могут подразумевать следующее:
а) Частное решение – конкретное значение переменой, при которой выполняется неравенство. Например, для неравенства $x>7$, частным решением будет $х=10$ или $х=999$.
б) Общее решение – множество всех частных решений, т.е. все числа при которых выполняется данное неравенство. Для неравенства $x>7$ общее решение оно само и есть. Или мы можем записать общее решение в виде промежутка $xϵ(7;+∞)$.
в) Под решением можно понимать и сам процесс решения неравенства – выбор метода решения или какие-либо другие математические операции.

Равносильность неравенств

Определение. Два неравенства с одной переменой $f(x)>g(x)$ и $h(x)>q(x)$ называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают, т.е. общие решения у них одинаковые.

Определение. Если решение неравенства $f(x)>g(x)$ (1) содержится в решении неравенства $h(x)>q(x)$ (2), то неравенство (2) является следствием неравенства (1).

Например, решением неравенства $x^2>16$ являются два промежутка $(-∞;-4)$ и $(4;+∞)$. Решением неравенства $x>4$ является промежуток $(4;+∞)$. Решение второго неравенства является частью решения первого, а поэтому первое неравенство - это следствие второго неравенства.

Если знаки неравенства поменять местами, то уже второе неравенство станет следствием первого. Решением $x^2<16$ является промежуток $(-4;4)$, решение неравенства $х<4$ – промежуток $(-∞;4)$. Решение первого неравенства является частью решения второго.

Решением неравенства, чаще всего, получаются бесконечные промежутки чисел. Поэтому полную проверку решения проводить не удобно и практически невозможно. При решении неравенств стоит применять только равносильные преобразования, которые не приведут к неравенствам следствиям. Неравенства следствия, как и в случае с уравнениями, могут привести к потере решений. Какие преобразования равносильны для неравенств?

Теоремы о равносильности неравенств

Теорема 1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части в другую, поменяв при этом знак на противоположный и оставив при этом знак неравенства без изменений, то получится неравенство равносильное исходному.

Теорема 2. Если обе части неравенства возвести в одну и туже нечетную степень, оставив при этом знак неравенства без изменений, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 3.
а) Если $а>1$, то показательное неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)>g(x)$.
б) Если $0<a<1$, то показательное неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)<g(x)$. (Знак неравенства меняется на противоположный).

Теорема 4.
а) Если обе части неравенства $f(x)>g(x)$ умножить на одно и тоже выражение $h(x)$, положительное при всех х, из области определения неравенства $f(x)>g(x)$, оставив при этом знак неравенства без изменений, то получится неравенство $f(x)*h(x)>g(x)*h(x)$, равносильное исходному.
б) Если обе части неравенства $f(x)>g(x)$ умножить на одно и тоже выражение $h(x)$, отрицательное при всех х, из области определения неравенства $f(x)>g(x)$, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство $f(x)*h(x)<g(x)*h(x)$, равносильное исходному.

Теорема 5.
Если обе части неравенства $f(x)>g(x)$ неотрицательны на всей области определения (ОДЗ), то после возведения неравенства в одну и ту же четную степень n, получится неравенства того же знака ${f(x)}^n>{g(x)}^n$, равносильное данному.

Теорема 6. Если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то:
а) при $a>1$ логарифмическое неравенство $log_af(x)>log_ag(x)$ равносильно неравенству того же смысла: $f(x)>g(x)$;
б) при $0<a<1$ логарифмическое неравенство $log_af(x)>log_a g(x)$ равносильно неравенству противоположного смысла: $f(x)<g(x)$.

Системы и совокупности неравенств

Определение. Несколько неравенств с одной переменой образуют систему неравенств. Если надо найти все значения переменной, каждая из которых является частным решением всех заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств. Множество всех частных решений системы неравенств – это общее решение системы неравенств.

Решение системы неравенств – это пересечение множеств частных решений каждого конкретного неравенства системы.

Определение. Несколько неравенств образуют совокупность неравенств, если требуется найти все значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из заданных неравенств. Каждое такое значение – частное решение совокупности неравенств. Множество всех частных решений – общее решение или просто решение совокупности неравенств.

Решение совокупности неравенств - есть объединение множеств частных решений каждого конкретного неравенства совокупности.
Системы неравенств объединяются фигурной скобкой, а совокупности неравенств – квадратной скобкой.

Пример.
Решить систему и совокупность неравенств:

Решение.
а) Наши неравенства представляют собой обычные линейные неравенства, решение, которых найти не сложно: $\begin {cases} x>2, \\ x≥6 \end {cases}$.
Нам нужно найти пересечение двух множеств решений. Проще всего это сделать графически, нарисовав два промежутка:
Как видно из рисунка решение неравенства - это промежуток $[6;+∞)$.
Ответ: $xϵ[6;+∞)$.

б) Неравенства в данной совокупности полностью аналогичны пункту a). Только в этой задаче нам требуется найти объединение решений каждого неравенства. По рисунку не трудно заметить, что объединение – это промежуток $(2;+∞)$.
Ответ: $xϵ(2;+∞)$.

При решении неравенств учитывайте: если одно из неравенств является следствием другого, то неравенства следствия можно отбрасывать.

Давайте вернемся к логарифмическим неравенствам:
$log_a f(x)>log_a g(x)$, $a>1$ равносильно системе: $\begin {cases} f(x)>0, \\ g(x)>0, \\ f(x)>g(x) \end {cases}$.
$log_af(x)>log_a g(x)$, $0<a<1$ равносильно системе: $\begin {cases} f(x)>0, \\ g(x)>0, \\ f(x)<g(x) \end {cases}$.

Если $f(x)>g(x)$ и $g(x)>0$, тогда $f(x)$ точно больше нуля. Для второго случая: если $f(x)<g(x)$ и $f(x)>0$, то $g(x)$ в этом случае больше нуля.

Мы можем отбросить неравенства следствия, то есть при решении логарифмических неравенств достаточно решить:
$log_af(x)>log_ag(x)$, $a>1$ равносильно системе: $\begin {cases} g(x)>0, \\ f(x)>g(x) \end {cases}$.

$log_a f(x)>log_a g(x)$, $0<a<1$ равносильно системе: $\begin {cases} f(x)>0, \\ f(x)<g(x) \end {cases}$.

Пример.
Решить неравенство: $log_{x-3}(2x+3)>log_{x-3}(3x-5)$.

Решение.
От того, каково основание логарифма зависит, какое равносильное преобразование мы можем произвести. Нам следует рассмотреть два случая:
а) $x-3>1$; б) $0<x-3<1$.

Тогда, в соответствии с уточнением, приведенным выше, имеем две системы неравенств. С учетом области допустимых значений неравенства:
а) $\begin {cases} x-3>1, \\ 2x+3>3x-5, \\ 3x-5>0 \end {cases}$.

б) $\begin {cases} 0<x-3<1, \\ 2x+3<3x-5, \\ 2x+3>0 \end {cases}$.

а) $\begin {cases} x>4, \\ x<8, \\ x>\frac{5}{3} \end {cases}$.

б) $\begin {cases} 3<x<4, \\ x>8, \\ x>-1,5\end {cases}$.

Решением системы неравенств (а) является промежуток $(4;8)$.
Система неравенств (б) – решений не имеет.
Ответ: $xϵ(4;8)$.