Под уравнением с параметром обычно принято понимать уравнение вида $f(x;a)=0$, где х – переменная, относительно которой надо решить уравнение, а – произвольное действительное число, параметр.

Трудностей при решении уравнений с параметрами довольно много, так как в зависимости от параметра уравнение может принимать совершенно разный вид. При одном значении параметра уравнение может не иметь решений, при другом - бесконечно много решений, при третьем значении - решаться одним способом, при четвертом - совершенно другим. Мы постараемся разобрать основные принципы, которыми следует руководствоваться при решении таких уравнений.

Пример.
Решить относительно х:
а) $3а(а-3)х = а-3$,
б) $3а(а-3)х > а-3$.

Решение.
а) Дано обычное линейное уравнение, которое решается довольно просто. Число в правой части уравнения делим на коэффициент при х в левой части уравнения.
В правой части уравнения число равняется $а-3$.
В левой части уравнения коэффициент при х равен $3а(а-3)$.
Тогда решение в общем виде будет: $x=\frac{a-3}{3a(a-3)}=\frac{1}{3a}$.
Параметр а может принимать любые значения. Мы знаем, что на ноль делить нельзя. Тогда $3а≠0$, что означает $а≠0$.
То есть мы получили, при $а=0$ – решений нет, так как на ноль делить нельзя. При всех остальных значениях параметра а, $x=\frac{a-3}{3a(a-3)}=\frac{1}{3a}$.

б) Нам также дано обычное линейное неравенство. В этом случае стоит учесть еще одно условие. В зависимости от знака коэффициента при х мы меняем либо не меняем знак неравенства при делении на этот коэффициент.

Рассмотрим случаи:
1. $a=0$;
2. $a=3$;
3. $а<0$;
4. $0<a<3$;
5. $a>3$.
1. $a=0$. В этом случае неравенство принимает вид $0*х>-3$, которое выполняется при любых х.
2. $a=3$. В этом случае неравенство принимает вид $0*х>0$, которое не имеет решений.
3. $а<0$. Коэффициент $3а(а-3)$ положителен. Значит, при делении на этот коэффициент знак неравенства остается прежним, тогда решением в этом случае будет $x>\frac{1}{3a}$.
4. $0<a<3$. В этом случае коэффициент отрицателен, тогда следует знак неравенства сменить на противоположный. $x<\frac{1}{3a}$.
5. $a>3$. Коэффициент $3а(а-3)$ положителен. Значит, при делении на этот коэффициент знак неравенства остается прежним, тогда решением будет: $x>\frac{1}{3a}$. Пункты 3 и 5 можно объединить в один при записи в ответ.

Ответ: а) Уравнение не имеет решений при $а=0$ и $а=3$. При всех других а решением уравнения будет $x=\frac{1}{3a}$.

б) При $а=0$, неравенство выполняется при любых х.
Если $а=3$, то решений нет.
Если $а<0$ и $a>3$, то $x>\frac{1}{3a}$.
Если $0<a<3$, то $x<\frac{1}{3a}$.

Пример.
Решить уравнение: $2(a-2)x^2+4(a+1)x+(2a+2)=0$.

Решение.
При решении квадратных уравнений с параметром, как правило, следует рассматривать два случая:
1. коэффициент при старшей степени равен нулю.
2. коэффициент при старшей степени не равен нулю.

Рассмотрим первый случай.
При $а=2$, наше уравнение принимает вид обычного линейного уравнения: $0*x^2+12x+6=0$, т.е. $х=-\frac{1}{2}$.
Перейдем ко второму случаю, найдем дискриминант нашего уравнения:
$D=(4(a+1))^2-4*2*(a-2)(2a+2)=16(a^2+2a+1)-8(2a^2+2a-4a-4)=$ $=16a^2+32a+16-16a^2+16a+32=48a+48=48(a+1)$.

Дальше следует рассуждать о знаке дискриминанта.
а) При $D<0$, корней уравнения нет. В нашем случае, при $а<-1$ – решений нет.
б) При $D=0$, один корень. В нашем случае, при $а=-1$ – одно решение.
Найдем это решение: $x=\frac{-4(a+1)}{4(a-2)}=\frac{-4*0}{4*(-3)}=0$.
в) При $D>0$, два корня уравнения. В нашем случае, при $а>-1$ – два решения.
$x_{1,2}=\frac{-4(a+1)±\sqrt{48(a+1)}}{4(a-2)}=\frac{-4(a+1)±4\sqrt{3(a+1)}}{4(a-2)}=\frac{-(a+1)±\sqrt{3(a+1)}}{(a-2)}$.

Ответ: При $а=2$ – $х=-0,5$. При $a<-1$ – решений нет.
При $а=-1$ – $х=0$. При $а>-1$ – $x_{1,2}=\frac{-(a+1)±\sqrt{3(a+1)}}{a-2}$.

Пример.
Решить уравнение: $\sqrt{x+a}=(a-2x)$.

Решение.
Начнем с обычного действия, возведем обе части уравнения в квадрат.
$(\sqrt{x+a})^2=(a-2x)^2$.
$x+a=a^2-4ax+4x^2$.
$4x^2-(4a+1)x+(a^2-a)=0$.

Найдем дискриминант данного уравнения.
$D=(4a+1)^2-4*4*(a^2-a)=16a^2+8a+1-16a^2+16a=24a+1$.

Перейдем к рассмотрению трех возможных случаев:
1. $D<0$, при $a<-\frac{1}{24}$, решений нет.

2. $D=0$, при $a=-\frac{1}{24}$. Решив уравнение, получим $x=\frac{5}{48}$.
Проверим выполняется ли равенство $\sqrt{\frac{5}{48}-\frac{1}{24}}≠-\frac{1}{24}-\frac{10}{48}$. Значит уравнение не имеет корней в данном случае.

3. $D>0$, при $a>-\frac{1}{24}$, два корня уравнения: $x_{1,2}=\frac{4a+1±\sqrt{24a+1}}{8}$.
Осталось выполнить проверку полученных корней. Проверка таких корней представляет собой довольно сложную операцию. Давайте построим графики функций $y=\sqrt{x+a}$ и $y=a-2x$, а затем найдем точки их пересечений.
Рассмотрим три случая для значений параметра а:
а) $а=0$.
б) $a<0$.
в) $a>0$.
Рассмотрим случай а). При $а=0$ графики выглядят следующим образом:
Графики пересекаются в одной точке А(0;0), значит уравнение имеет одно решение $х=0$.

Рассмотрим случай б). При $a<0$, график корня квадратного сместится вправо на а единиц, а график линейной функции сместится на а единиц вниз. Как видно из схематичного рисунка, наши графики не могут пересечься, значит, корней нет.
Рассмотрим случай в). При $a>0$, графики функций пересекаются в одной точке. Выше мы получили два возможных корня уравнения, нам нужно выбрать один из этих корней удовлетворяющий графику ниже.

Мы можем заметить, что абсцисса точки пересечения больше нуля, но меньше чем $\frac{а}{2}$.
Проверим наши корни.

$\frac{4a+1+\sqrt{24a+1}}{8}<\frac{a}{2}$.

$4a+1+\sqrt{24a+1}<4a$.

$\sqrt{24a+1}<-1$ - не возможно, значит $аϵ∅$ для этого корня.

Для уверенности в правильности решения проверим второй корень.

$\frac{4a+1-\sqrt{24a+1}}{8}<\frac{a}{2}$.

$4a+1-\sqrt{24a+1}<4a$.

$-\sqrt{24a+1}<-1$.

$\sqrt{24a+1}>1$.

$a>0$, получили верное неравенство.

Ответ: При $а=0$, $х=0$. При $а<0$, решений нет. При $a>0$, $x=\frac{4a+1-\sqrt{24a+1}}{8}$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить относительно х:
а) $5а(а-4)х = а-4$,
б) $5а(а-4)х < а-4$.
2. Решить уравнение: $4(a-1)x^2+4(a+3)x+(a+1)=0$.
3. Решить уравнение: $\sqrt{-x+a}=(a+2x)$.