Ребята, сегодня мы разберем общие методы и наиболее общие идеи, применяемые при решении уравнений.

Замена уравнений $h(f(x))=h(g(x))$ уравнением $f(x)=g(x)$.

В общем виде эта формулировка выглядит устрашающе. На самом деле мы прекрасно умеем решать такие уравнения и ничего страшного в них нет.

Давайте рассмотрим виды уравнений, в которых применяется данный метод:

• Показательные уравнения вида: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ равносильны уравнению $f(x)=g(x)$.
  
• Логарифмические уравнения вида: $log_af(x)=log_ag(x)$, где $a>0$, $a≠1$ равносильны уравнению $f(x)=g(x)$.
  
• Иррациональные уравнения вида: $\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{g(x)}$ равносильны уравнению $f(x)=g(x)$.
  

На применение данного метода накладывается серьезное ограничение: функция $h(x)$ должна быть строго монотонной, т.е. только возрастать или только убывать (другими словами - одно и тоже значение функция может принимать только один раз). Ребята, вспомните графики показательных, логарифмических и иррациональных функций. Они все строго монотонные.
Если функция h(x) – не монотонная, то данный метод применять нельзя, т.к. возможна потеря корней.

Давайте приведем простой пример. Тригонометрические функции – периодические (на определенных промежутках то возрастают, то убывают).
Уравнение $sin(15x)=sin(6x)$ – имеет бесконечно много корней. Можно представить схематично два графика и заметить, что пересекаться они будут бесконечно много раз. Если мы применим метод описанный выше, то получим $15х=6х$. Решением будет $х=0$, т.е. мы потеряли почти все корни.
Итак, применять метод замены уравнений $h(f(x))=h(g(x))$ уравнением $f(x)=g(x)$ можно только в случае строгой монотонности $h(x)$.

Метод разложения на множители

Уравнения вида $f(x)*g(x)*h(x)=0$, можно заменить совокупностью уравнений: $f(x)=0$, $g(x)=0$, $h(x)=0$. При решении такого типа уравнений нужно всегда проверять область определения исходного уравнения. Те корни, которые попадают в область определения - записать в ответ, а те которые не попали - считать посторонними и отбросить их.


Пример.
Решить уравнение:
$(\sqrt{x-2}-3)*(3^{x^2-11x+30}-1)*ln(x+9)=0$.

Решение.
Данное уравнение сводится к совокупности уравнений:

Мы вводили уточнения, что стоит проверять область определения. Тогда наша совокупность в самом общем виде сводится к системе:
Эта система имеет довольно громоздкий вид. Можно каждое уравнение и неравенство решать по отдельности, это кому как удобно.
Получилась область допустимых значений: $x≥2$. Корни, которые удовлетворяют ОДЗ: $х=5$, $х=6$, $х=11$.

Ответ: 5,6,11.

Пример.
Решить уравнение: $x^3-8x+7=0$.

Решение.
Данное уравнение также можно решить методом разложения, заметим: $x^3-7x-x+7=0$,
$x(x^2-1)-7(x-1)=0$,
$x(x-1)(x+1)-7(x-1)=0$,
$(x-1)(x^2+x-7)=0$.

Данное уравнение сводится к совокупности простых уравнений:
Все преобразования были равносильными, посторонних корней не появится. Ребята, данную совокупность предлагаю решить самим.

Пример.
Решить уравнение: $2x^2*sin(x)-8sin(x)=x^2-4$.

Решение.
Проведем равносильные преобразования.
$2sin(x)(x^2-4)-(x^2-4)=0$,
$(x^2-4)(2 sin(x)-1)=0$.
Область допустимых значений у - все множество действительных чисел, нам достаточно решить совокупность:
Ответ: $x=±2$; $\frac{π}{6}+2πn$; $\frac{5π}{6}+2πn$.

Пример.
Решить уравнение: $cos^{2}(π-x)+sin(2x)=0$.

Решение.
Как всегда начнем с равносильных преобразований, применяя формулы тригонометрии.
$cos^{2}(π-x)=cos^{2}(x)$.
$sin(2x)=2sin(x)cos(x)$.
Тогда наше уравнение принимает вид:
$cos{^2}(x)+2sin⁡(x)cos(x)=0$.
$cos(x)(cos(x)+2 sin(x))=0$.
Данное уравнение сводится к совокупности:

Ответ: $x=\frac{π}{2}+πn$ и $-arctg(0.5)+πn$.

Задачи для самостоятельного решения

Решить следующие уравнения:
1. $(\sqrt{x+3}-4)*(5^{x^2+x-10}-25)*lg(x-8)=0$.
2. $x^3+7x-8=0$.
3. $2x^2*cos(x)-18 cos(x)=x^2-9$.
4. $sin^{2}(π+\frac{x}{2})-\frac{1}{2}sin(x)=0$.