Введение в функцию

Ребята, мы переходим к изучению новой темы, которая тесно связана с темами степенных функций и корней n-ой степени.
Сегодня мы с вами будем изучать показательную функцию, эта функции вида: $y=a^x$, где x любое действительное число.
Мы уже рассматривали некое подобие таких функций, причем x всегда было рациональным числом, как же быть в случае иррационального числа.

Давайте введем определение, которое поможет решить эту проблему:
Определение. Пусть $а>1$ и $α=а,а_1а_2а_3а_4…а_n…$ - положительное иррациональное число (бесконечная, десятичная, не периодичная дробь).
Тогда последовательность десятичных приближений числа $α$ вот такая:
$α1=а,а_1$
$α2= а,а_1a_2$;
$α3= а,а_1a_2a_3…$;
$αn= а,а_1a_2a_3…a_n$.
Тогда предел последовательности $a^{α_1}$, $a^{α_2}$, $a^{α_3}$,…,$a^{α_n}$ обозначают, как $a^α$ - степень с иррациональным показателем.
Если $а>1$ и $α<0$ – иррациональное число, то $a^α=\frac{1}{a^{-α}}$.
Если $0<a<1$, то $a^α=(\frac{1}{a})^{-α}$.

Степени с произвольным действительным показателем обладают теми же свойствами, что и привычные нам степени, которые мы изучали раньше:
1. $a^x*a^y=a^{x+y}$; $a>0$, x, y - любое действительное число.
2. $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$; $a>0$, x, y - любое действительное число.
3. ${(a^x)}^y=a^{x*y}$; $a>0$, x, y - любое действительное число.
4. $(a*b)^y=a^y*b^y$; $a>0$, $b>0$, y - любое действительное число.
5. $(\frac{a}{b})^y=\frac{a^y}{b^y}$; $a>0$, $b>0$, y - любое действительное число.
Ребята, это очередная небольшая памятка для вас.

Таблица и график показательной функции

Ребята, давайте теперь построим график функции $y=3^x$, x-любое действительное число.
Составим таблицу значений:
Построим график функции по точкам:

Свойства показательной функции

1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на всей области определения.
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Выпукла вниз.

Такими же свойствами обладает любая функция вида: $y=a^x$, $a>1$.

Рассмотрим функцию вида: $y={(\frac{1}{3})}^x$.
Также построим ее график по точкам:

Свойства функции:
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Убывает на всей области определения.
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Выпукла вниз.

Такими же свойствами обладает любая функция $y=a^x$, $0<a<1$.
Мы рассмотрели два примера показательных функций. Давайте введем общее определение для показательных функций:

Определение показательной функции

Определение. Функцию вида $y=a^x$, где x любое действительное число, $а>0$, $a≠1$ называют показательной функцией.
Основные свойства показательных функций:
График нашей функции всегда будет проходить через точку (1;a), если $a>1$ или через точку (-1;a) если $0<a<1$. Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой нашего графика. Построим два графика в общем виде:
Пример.
Решить уравнения и неравенства:
а) $3^x=1$.
б) $3^x=9$.
в) $3^x=\frac{1}{27}$.
г) $3^x>1$.
д) $3^x<9$.
Решение.
Воспользуемся графическим методом решения:
а) Построим на одной координатной плоскости прямые $y=3^x$ и $y=1$.
Наши графики пересекаются в одной точке (0;1), что означает единственность решения: $х=0$.

б) Построим на одной координатной плоскости прямые $y=3^x$ и $y=9$.
Наши графики пересекаются в одной точке (2;9), что означает единственность решения: $х=2$.

в) Очевидно, что наше уравнение также имеет один корень. Мы можем и не строить графики функции. $3^{-3}=\frac{1}{27}$ => $x=-3$.

г) График функции $y=3^x$ расположен выше прямой $y=1$. При $х>0$ это и есть решение нашего неравенства, посмотрите на график и убедитесь в этом.
д) График функции $y=3^x$ расположен ниже прямой $y=9$. При $х<2$ это и есть решение нашего неравенства, посмотрите на график и убедитесь в этом.


Теорема 1. Если $a>1$, то равенство $a^x=a^y$, выполняется тогда и только тогда, когда $x=y$.

Теорема 2. Если $a>1$, то неравенство $a^x>1$ выполняется тогда и только тогда, когда $x>0$.
Неравенство $a^x<1$ выполняется тогда и только тогда, когда $x<0$.

Примеры, рассмотренные выше, хорошо показывают верность наших теорем.

Пример.
Решить уравнения и неравенства:
а) $(\frac{1}{3})^x=1$.
б) $(\frac{1}{3})^x=3$.
в) $(\frac{1}{3})^x=\frac{1}{27}$.
г) $(\frac{1}{3})^x>1$.
д) $(\frac{1}{3})^x<9$.
Решение.
Воспользуемся графическим методом решения:
а) Построим на одной координатной плоскости прямые $y=(\frac{1}{3})^x$ и $y=1$.
Наши графики пересекаются в одной точке (0;1), что означает единственность решения. $х=0$.

б) Построим на одной координатной плоскости прямые $y=(\frac{1}{3})^x$ и $y=3$.
Наши графики пересекаются в одной точке (-1;3), что означает единственность решения. $х=-1$.

в) Очевидно, что наше уравнение также имеет один корень. Мы можем и не строить графики функции. $(\frac{1}{3})^x=\frac{1}{27}$ => $x=3$.

г) График функции $y=(\frac{1}{3})^x$ расположен выше прямой $y=1$. При $х<0$ это и есть решение нашего неравенства. Посмотрите на график и убедитесь в этом.
д) График функции $y=(\frac{1}{3})^x$ расположен ниже прямой $y=9$. При $х>-2$ это и есть решение нашего неравенства. Посмотрите на график и убедитесь в этом.

Теорема 3. Если $0<a<1$, то равенство $a^x=a^y$, выполняется тогда и только тогда, когда $x=y$.

Теорема 4. Если $0<a<1$, то неравенство $a^x>1$ выполняется тогда и только тогда, когда $x<0$.
Неравенство $a^x<1$ выполняется тогда и только тогда, когда $x>0$.

Примеры, рассмотренные выше, хорошо показывают верность наших теорем.

Пример.
Построить график функции $y=2*2^x+3$ и найти наибольшее, наименьшее значение на отрезке $[-2;2]$.
Решение.
$y=2*2^x+3=2^{x+1}+3$.
График исходной функции получается из графика функции $y=2^{x+1}$ смещением его на 3 единицы вверх.
Так как наша функция монотонная, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах заданного отрезка.
$y_{наим.}=2^{-2+1}+3=3\frac{1}{2}$.
$y_{наиб.}=2^{2+1}+3=11$.

Пример.
Решить уравнения и неравенства:
а) $4^x=5-x$.
б) $4^x<5-x$.
в) $4^x≥5-x$.

Решение.
а) Построим два графика функций на одной координатной плоскости: $y=4^x$ и $y=5-x$.

Наши функции пересекаются в точке (1;4) – это и будет единственным решением. Показательная функция возрастает, а линейная – убывает, а мы знаем, что в этом случае решение единственно.

б) Посмотрим на наши графики, и найдем промежуток, на котором показательная функция ниже линейной: $x<1$.
в) Посмотрим на наши графики, и найдем промежуток, на котором показательная функция выше линейной: $x≥1$.
Ответ: а) $x=1$,
б) $x<1$,
в) $x≥1$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить уравнения и неравенства:
а) $4^x=1$.
б) $4^x=16$.
в) $4^x=\frac{1}{64}$.
г) $4^x>16$.
д) $4^x<4$.
2. Решить уравнения и неравенства:
а) ${(\frac{1}{4}))}^x=1$.
б) ${(\frac{1}{4})}^x=16$.
в) ${(\frac{1}{4})}^x=1/64$.
г) ${(\frac{1}{4})}^x>4$.
д) ${(\frac{1}{4})}^x<16$.
3. Построить график функции $y=4*4^x-1$ и найти наибольшее, наименьшее значение на отрезке $[-3;3]$.
4. Решить уравнения и неравенства:
а) $6^x=8-2x$.
б) $6^x<8-2x$.
в) $6^x≥8-2x$.