МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

Номер свидетельства СМИ ЭЛ № ФС 77 - 63677 зарегистрировано Роскомнадзором

Алгебра – 11 класс. Число e

Урок и презентация на тему: "Число e. Функция. График. Свойства"




Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.



Скачать: Число e. Функция. График. Свойства (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"





Ребята, сегодня мы будем изучать особенное число. Оно занимает отдельное место во "взрослой" математике и имеет много замечательных свойств, некоторые из которых мы и рассмотрим.

Вернемся к показательным функциям $y=a^x$, где $а>1$. Мы можем построить множество различных графиков функций для различных оснований.
Но следует заметить, что:
  • все функции проходят через точку (0;1),
  • при $х→-∞$ график имеет горизонтальную асимптоту $у=0$,
  • все функции возрастают и выпуклы вниз,
  • а также непрерывны, что в свою очередь означает, что они дифференцируемы.
Если функции всюду дифференцируемы, тогда к ним можно построить касательные в каждой точке. Если все функции проходят через точку (0;1), то она представляет особый интерес. Давайте последовательно построим несколько касательных.

Рассмотрим функцию $y=2^x$ и построим к ней касательную. Число e, функция, график
Аккуратно построив наши графики, можно заметить, что угол наклона касательной равен 35°.
Теперь давайте построим график функции $y=3^x$ и также построим касательную: Число e, функция, график
В этот раз угол наклона касательной приблизительно равен 48°. Вообще, стоит заметить: чем больше основание показательной функции, тем больше угол наклона.
Особый интерес представляет касательная с углом наклона равным 45°. К графику какой показательной функции можно провести такую касательную в точке (0;1)?
Основание показательной функции должно быть больше 2, но меньше 3, так как требуемый угол касательной достигается где-то между функциями $y=2^x$ и $y=3^x$. Такое число было найдено и оно оказалось довольно уникальным.

Показательную функцию, у которой касательная, проходящая через точку (0;1) имеет угол наклона равный 45°, принято обозначать: $y=e^x$.
Основание нашей функции является иррациональным числом. Математиками было выведено приблизительное значение этого числа $e=2.7182818284590…$.
В курсе школьной математике принято округлять до десятых, то есть $e=2.7$.
Давайте построим график функции $y=e^x$ и касательную к этому графику. Число e, функция, график
Нашу функцию принято называть экспоненциальной.
Свойства функции $y=e^x$.
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на всей области определения.
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Выпукла вниз.
В высшей математике доказано, что экспоненциальная функция всюду дифференцируема, и ее производная равна самой функции: $(e^x)'=e^x$.
Наша функция находит большое применение в многих разделах математики (в математическом анализе, в теории вероятности, в программировании), и многие реальные объекты связаны с этим числом.

Пример.
Найти касательную к графику функции $y=e^x$ в точке $х=2$.
Решение.
Уравнение касательной описывается формулой: $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.
Последовательно найдем требуемые значения:
1. $f(a)=f(2)=e^2$.
2. $f'(a)=e^a$.
3. $f'(2)=e^2$.
4. $y=f(a)+f'(a)(x-a)=e^2+e^2(x-2)=e^2*x-e^2$.
Ответ: $y=e^2*x-e^2$

Пример.
Найти значение производной функции $y=e^{3x-15}$ в точке $х=5$.
Решение.
Давайте вспомним правило дифференцирования функции вида $y=f(kx+m)$.
$y'=k*f'(kx+m)$.
В нашем случае $f(kx+m)=e^{3x-15}$.
Найдем производную:
$y'=(e^{3x-15})'=3*e^{3x-15}$.
$y'(5)=3*e^{15-15}=3*e^0=3$.
Ответ: 3.

Пример.
Исследовать на экстремумы функцию $y=x^3*e^x$.
Решение.
Найдем производную нашей функции $y'=(x^3*e^x )'=(x^3)'*e^x+x^3(e^x)'=3x^2*e^x+x^3*e^x=x^2*e^x(x+3)$.
Критических точек у функции нет, так как производная существует при любом х.
Приравняв производную к 0, получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=-3$.
Отметим наши точки на числовой прямой: Число e, функция, график

Задачи для самостоятельного решения


1. Найти касательную к графику функции $y=e^{2x}$ в точке $х=2$.
2. Найти значение производной функции $y=e^{4x-36}$ в точке $х=9$.
3. Исследовать на экстремумы функцию $y=x^4*e^{2x}$.




Добавить комментарий

Защитный код
Обновить